Mostre que
.
Passo 1
Enunciado: mostrar que
Dados relevantes: o número complexo
. A tarefa é calcular o logaritmo complexo de
e obter a expressão indicada.
Passo 2
Conceito importante (explicado devagarinho): para um número complexo
escrito em forma polar como
onde
é o módulo (um número real positivo) e
é o argumento, a forma principal do logaritmo complexo é
Aqui
é o logaritmo natural do módulo (um número real) e
é o argumento principal de
, normalmente escolhido no intervalo
. Observação pedagógica: o logaritmo complexo é multi‑valorado; a fórmula completa seria
com
, mas quando escreverem só
muitas vezes querem o valor principal (
) — é esse que vamos usar aqui.
Passo 3
Calcular o módulo de
. Pelo teorema de Pitágoras na componente real e imaginária temos
Então o termo real do logaritmo é
Explicação extra:
elevado ao quadrado é
, e
.
Passo 4
Calcular o argumento principal de
. Representando por coordenadas, a parte real é
e a parte imaginária é
. A tangente do argumento satisfaz
A solução básica é
. Como o ponto
está no quarto quadrante (real positiva, imag negativa) e o argumento principal deve ficar em
, tomamos
Comentário didático: não confunda com
— esse ângulo tem tangente
também, mas está no segundo quadrante; aqui a coordenada
nos garante que o ângulo correto é
.
Passo 5
Agora juntamos módulo e argumento na fórmula do logaritmo principal:
Simplificando o termo imaginário obtemos
Observação final: se quisermos a família completa de valores do logaritmo (todas as folhas), acrescentamos
com
, ou seja
mas o enunciado pediu a expressão mostrada, que é o valor principal (caso
).