Mostre que
\log (1-i)=\frac{1}{2} \ln 2-\frac{\pi}{4} i.

Passo 1

Enunciado: mostrar que
\log(1-i)=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}i.
Dados relevantes: o número complexo z=1-i. A tarefa é calcular o logaritmo complexo de z e obter a expressão indicada.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagarinho): para um número complexo z\neq0 escrito em forma polar como
z = r e^{i\theta},
onde r=|z| é o módulo (um número real positivo) e \theta é o argumento, a forma principal do logaritmo complexo é
\log z = \ln r + i\operatorname{Arg} z.
Aqui \ln r é o logaritmo natural do módulo (um número real) e \operatorname{Arg} z é o argumento principal de z, normalmente escolhido no intervalo (-\pi,\pi]. Observação pedagógica: o logaritmo complexo é multi‑valorado; a fórmula completa seria \log z=\ln r + i(\operatorname{Arg} z+2\pi k) com k\in\mathbb{Z}, mas quando escreverem só \log muitas vezes querem o valor principal ( k=0) — é esse que vamos usar aqui.

Passo 3

Calcular o módulo de z=1-i. Pelo teorema de Pitágoras na componente real e imaginária temos
|1-i|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Então o termo real do logaritmo é
\ln|1-i|=\ln\sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2.
Explicação extra: \sqrt{2} elevado ao quadrado é 2, e \ln(\sqrt{2})=\ln(2^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 4

Calcular o argumento principal de z=1-i. Representando por coordenadas, a parte real é x=1 e a parte imaginária é y=-1. A tangente do argumento satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-1}{1}=-1.
A solução básica é \theta=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}. Como o ponto (1,-1) está no quarto quadrante (real positiva, imag negativa) e o argumento principal deve ficar em (-\pi,\pi], tomamos
\operatorname{Arg}(1-i)=-\frac{\pi}{4}.
Comentário didático: não confunda com \frac{3\pi}{4} — esse ângulo tem tangente -1 também, mas está no segundo quadrante; aqui a coordenada x>0 nos garante que o ângulo correto é -\tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Agora juntamos módulo e argumento na fórmula do logaritmo principal:
\log(1-i)=\ln|1-i|+i\operatorname{Arg}(1-i)=\frac{1}{2}\ln 2 + i\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr).
Simplificando o termo imaginário obtemos
\log(1-i)=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}i.
Observação final: se quisermos a família completa de valores do logaritmo (todas as folhas), acrescentamos 2\pi i k com k\in\mathbb{Z}, ou seja
\log(1-i)=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}i+2\pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z},
mas o enunciado pediu a expressão mostrada, que é o valor principal (caso k=0).

Resposta

\log(1-i)=\dfrac{1}{2}\ln 2-\dfrac{\pi}{4}i

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