Mostre que
\log (-1+i)^{2} \neq 2 \log (-1+i).

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que \log((-1+i)^{2}) \neq 2\log(-1+i).
Informações dadas: temos o número complexo -1+i e precisamos comparar o logaritmo do quadrado com duas vezes o logaritmo. Não foi dada nenhuma convenção explícita sobre ramo do logaritmo complexo no enunciado, então vamos trabalhar com o logaritmo principal (caso padrão em provas), e depois comentar a relação geral multivalorada.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática). O logaritmo complexo é multivalorado porque o argumento de um número complexo tem infinitas possibilidades: se \theta é um argumento de z, então \theta+2\pi k também é argumento para qualquer k\in\mathbb{Z}. A forma geral do logaritmo é
\log z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k),\quad k\in\mathbb{Z},
onde |z| é o módulo e \arg z é um dos argumentos. O logaritmo principal, que denotamos por \mathrm{Log}, escolhe o argumento principal \Arg z em um intervalo padrão, tipicamente (-\pi,\pi]. Assim
\mathrm{Log}\,z = \ln|z| + i\,\Arg z,\qquad \Arg z\in(-\pi,\pi].
Importante: a propriedade algébrica \log(z^2)=2\log z pode falhar para o logaritmo complexo principal por causa dessa escolha do ramo (deslocamento de 2\pi na parte imaginária).

Passo 3

Calculemos primeiro (-1+i)^2 de forma algébrica (passo simples, mas essencial para a prova):
(-1+i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i.
Portanto (-1+i)^2 = -2i.

Passo 4

Agora calculemos \mathrm{Log}(-1+i). Primeiro módulo e argumento:
|{-1+i}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
O ponto -1+i está no segundo quadrante; um argumento conveniente é \Arg(-1+i)=\tfrac{3\pi}{4} (pois a direcção forma 135^\circ com o eixo positivo). Assim, usando o logaritmo principal,
\mathrm{Log}(-1+i)=\ln\sqrt{2} + i\frac{3\pi}{4}.
Podemos também escrever \ln\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}\ln 2, se preferir.

Passo 5

Multiplicamos por 2:
2\,\mathrm{Log}(-1+i)=2\left(\ln\sqrt{2} + i\frac{3\pi}{4}\right)=\ln 2 + i\frac{3\pi}{2}.
Observe que a parte imaginária aqui é \tfrac{3\pi}{2}, que não está no intervalo principal (-\pi,\pi].

Passo 6

Agora calculemos \mathrm{Log}((-1+i)^2)=\mathrm{Log}(-2i). Primeiro módulo e argumento:
|-2i|=2.
O número -2i está sobre o eixo imaginário negativo; o argumento principal é \Arg(-2i)=-\tfrac{\pi}{2} (ou, equivalentemente, +\tfrac{3\pi}{2}, mas o ramo principal escolhe -\tfrac{\pi}{2} porque está em (-\pi,\pi]). Então
\mathrm{Log}((-1+i)^2)=\mathrm{Log}(-2i)=\ln 2 + i\left(-\frac{\pi}{2}\right).

Passo 7

Compare os dois resultados obtidos com o logaritmo principal:
\mathrm{Log}((-1+i)^2)=\ln 2 - i\frac{\pi}{2},
enquanto
2\,\mathrm{Log}(-1+i)=\ln 2 + i\frac{3\pi}{2}.
As partes imaginárias diferem: -\tfrac{\pi}{2} versus \tfrac{3\pi}{2}. Como trabalhamos com o logaritmo principal, exigimos igualdade exata, e portanto
\mathrm{Log}((-1+i)^2)\neq 2\,\mathrm{Log}(-1+i).
Comentário final (intuitivo): a diferença entre as duas partes imaginárias é 2\pi; isso mostra a origem do problema: a igualdade costuma valer apenas até um múltiplo de 2\pi i se considerarmos o logaritmo multivalorado. Em particular, em termos multivalorados existe k\in\mathbb{Z} tal que
\log((-1+i)^2)=2\log(-1+i)+2\pi i k,
mas para a escolha do ramo principal a igualdade simples falha.

Resposta

\mathrm{Log}((-1+i)^2)=\ln 2 - i\frac{\pi}{2}
\;2\,\mathrm{Log}(-1+i)=\ln 2 + i\frac{3\pi}{2}
Portanto \mathrm{Log}((-1+i)^2)\neq 2\,\mathrm{Log}(-1+i).

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