Mostre que
.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que
.
Informações dadas: temos o número complexo e precisamos comparar o logaritmo do quadrado com duas vezes o logaritmo. Não foi dada nenhuma convenção explícita sobre ramo do logaritmo complexo no enunciado, então vamos trabalhar com o logaritmo principal (caso padrão em provas), e depois comentar a relação geral multivalorada.
Informações dadas: temos o número complexo
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática). O logaritmo complexo é multivalorado porque o argumento de um número complexo tem infinitas possibilidades: se
é um argumento de
, então
também é argumento para qualquer
. A forma geral do logaritmo é
onde
é o módulo e
é um dos argumentos. O logaritmo principal, que denotamos por
, escolhe o argumento principal
em um intervalo padrão, tipicamente
. Assim
Importante: a propriedade algébrica
pode falhar para o logaritmo complexo principal por causa dessa escolha do ramo (deslocamento de
na parte imaginária).
Passo 3
Calculemos primeiro
de forma algébrica (passo simples, mas essencial para a prova):
Portanto
.
Passo 4
Agora calculemos
. Primeiro módulo e argumento:
O ponto
está no segundo quadrante; um argumento conveniente é
(pois a direcção forma
com o eixo positivo). Assim, usando o logaritmo principal,
Podemos também escrever
, se preferir.
Passo 5
Multiplicamos por
:
Observe que a parte imaginária aqui é
, que não está no intervalo principal
.
Passo 6
Agora calculemos
. Primeiro módulo e argumento:
O número
está sobre o eixo imaginário negativo; o argumento principal é
(ou, equivalentemente,
, mas o ramo principal escolhe
porque está em
). Então
Passo 7
Compare os dois resultados obtidos com o logaritmo principal:
enquanto
As partes imaginárias diferem:
versus
. Como trabalhamos com o logaritmo principal, exigimos igualdade exata, e portanto
Comentário final (intuitivo): a diferença entre as duas partes imaginárias é
; isso mostra a origem do problema: a igualdade costuma valer apenas até um múltiplo de
se considerarmos o logaritmo multivalorado. Em particular, em termos multivalorados existe
tal que
mas para a escolha do ramo principal a igualdade simples falha.
Resposta
Portanto