Mostre que para quaisquer dois números complexos
e
,
onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, para quaisquer dois números complexos
e
, vale
com
.
Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias):
- A função
complexa só está definida para números complexos não nulos, então assumimos e . - Precisamos cuidar do caráter multivalorado do logaritmo complexo (os argumentos podem diferir por múltiplos de
). - O objetivo é relacionar o logaritmo do produto com a soma dos logaritmos e determinar por que o ajuste é um múltiplo de
e por que esse múltiplo pode ser apenas , ou (isto é, ).
Passo 2
Conceito necessário: escrever o logaritmo de um número complexo em forma polar e entender sua multivalência.
- Todo
pode ser escrito em forma polar:
onde
é o módulo e
é um argumento de
(qualquer número real tal que
).
- O logaritmo complexo é multivalorado porque o ângulo
não é único: se é um argumento, então também é argumento para qualquer . Assim a família de valores do logaritmo é
Aqui
é o logaritmo real do módulo (parte real do log) e
é a parte imaginária multivalorada.
- Muitas vezes usamos o Logaritmo principal (eu vou chamar de
), que escolhe o argumento principal em um intervalo de comprimento . Um padrão comum é
e então
é um valor bem definido (único) do logaritmo. Mas o logaritmo geral ainda admite adições de
.
Exemplo curto para fixar a ideia: se
então
e argumentos possíveis são
. Logo
Passo 3
Expressão em forma polar dos dois números e do produto.
- Escrevemos
onde
e escolhemos
,
como os argumentos principais, isto é,
- Então o produto é
O módulo do produto é
. O ângulo
é um argumento do produto, mas pode não estar no intervalo principal
. Como
, a soma
satisfaz
- Para obter o argumento principal de
(o valor em ), devemos ajustar somando um múltiplo inteiro de até que caia no intervalo . Ou seja, existe um inteiro tal que
e este
é escolhido para garantir
.
Passo 4
Por que
.
-
Como já vimos,
. Para achar um número na faixa a partir de basta somar ou subtrair no máximo uma vez. Formalmente: - Se
, então escolher já produz um valor em . - Se
, então , isto é, escolher funciona. - Se
, então , isto é, escolher funciona.
- Se
-
Não é necessário nem possível escolher um
com valor absoluto maior que porque isso deslocaria o ângulo por múltiplos adicionais de e sairia do intervalo desejado. Portanto o inteiro que ajusta a soma para o argumento principal satisfaz
Passo 5
Escrever os logaritmos e concluir a identidade.
- Usando a definição do logaritmo principal,
- O logaritmo principal do produto é
Usando
e
com
, obtemos
- Reagrupando,
ou seja
com
.
- Se em vez do logaritmo principal escolhermos valores quaisquer da família multivalorada, a mesma relação continua válida: os diferentes ramos mudam as partes imaginárias por múltiplos de
, e a diferença entre o log do produto e a soma dos logs é sempre um múltiplo inteiro de ; restringindo-se aos argumentos principais o inteiro possível fica limitado a como mostrado.