Mostre que para quaisquer dois números complexos z_{1} e z_{2},
\log \left(z_{1} z_{2}\right)=\log \left(z_{1}\right)+\log \left(z_{2}\right)+2 N \pi i
onde N \in\{0,-1,1\}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para quaisquer dois números complexos z_{1} e z_{2}, vale
\log\left(z_{1}z_{2}\right)=\log\left(z_{1}\right)+\log\left(z_{2}\right)+2N\pi i
com N\in\{0,-1,1\}.
Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias):
  • A função \log complexa só está definida para números complexos não nulos, então assumimos z_{1}\neq0 e z_{2}\neq0.
  • Precisamos cuidar do caráter multivalorado do logaritmo complexo (os argumentos podem diferir por múltiplos de 2\pi).
  • O objetivo é relacionar o logaritmo do produto com a soma dos logaritmos e determinar por que o ajuste é um múltiplo de 2\pi i e por que esse múltiplo pode ser apenas -2\pi i, 0 ou 2\pi i (isto é, N\in\{0,-1,1\}).

Passo 2

Conceito necessário: escrever o logaritmo de um número complexo em forma polar e entender sua multivalência.
  • Todo z\neq0 pode ser escrito em forma polar:
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 é o módulo e \theta é um argumento de z (qualquer número real tal que e^{i\theta}=z/r).
  • O logaritmo complexo é multivalorado porque o ângulo \theta não é único: se \theta é um argumento, então \theta+2k\pi também é argumento para qualquer k\in\mathbb{Z}. Assim a família de valores do logaritmo é
\log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \ln r é o logaritmo real do módulo (parte real do log) e i(\theta+2k\pi) é a parte imaginária multivalorada.
  • Muitas vezes usamos o Logaritmo principal (eu vou chamar de \operatorname{Log}), que escolhe o argumento principal \operatorname{Arg} z em um intervalo de comprimento 2\pi. Um padrão comum é
\operatorname{Arg} z \in (-\pi,\pi],
e então
\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\,\operatorname{Arg} z
é um valor bem definido (único) do logaritmo. Mas o logaritmo geral ainda admite adições de 2k\pi i.
Exemplo curto para fixar a ideia: se z=e^{i\pi/2} então |z|=1 e argumentos possíveis são \pi/2+2k\pi. Logo
\log z = i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right).

Passo 3

Expressão em forma polar dos dois números e do produto.
  • Escrevemos
z_{1} = r_{1} e^{i\theta_{1}},\qquad z_{2} = r_{2} e^{i\theta_{2}},
onde r_{1}=|z_{1}|>0,\; r_{2}=|z_{2}|>0 e escolhemos \theta_{1}=\operatorname{Arg} z_{1}, \theta_{2}=\operatorname{Arg} z_{2} como os argumentos principais, isto é,
\theta_{1},\theta_{2}\in(-\pi,\pi].
  • Então o produto é
z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2} e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}.
O módulo do produto é r_{1}r_{2}. O ângulo \theta_{1}+\theta_{2} é um argumento do produto, mas pode não estar no intervalo principal (-\pi,\pi]. Como \theta_{1},\theta_{2}\in(-\pi,\pi], a soma
s:=\theta_{1}+\theta_{2}
satisfaz
s\in(-2\pi,2\pi].
  • Para obter o argumento principal de z_{1}z_{2} (o valor em (-\pi,\pi]), devemos ajustar s somando um múltiplo inteiro de 2\pi até que caia no intervalo (-\pi,\pi]. Ou seja, existe um inteiro N tal que
\operatorname{Arg}(z_{1}z_{2}) = s + 2N\pi,
e este N é escolhido para garantir \operatorname{Arg}(z_{1}z_{2})\in(-\pi,\pi].

Passo 4

Por que N\in\{0,-1,1\}.
  • Como já vimos, s=\theta_{1}+\theta_{2}\in(-2\pi,2\pi]. Para achar um número na faixa (-\pi,\pi] a partir de s basta somar ou subtrair 2\pi no máximo uma vez. Formalmente:
    • Se s\in(-\pi,\pi], então escolher N=0 já produz um valor em (-\pi,\pi].
    • Se s\in(\pi,2\pi], então s-2\pi\in(-\pi,\pi], isto é, escolher N=-1 funciona.
    • Se s\in(-2\pi,-\pi], então s+2\pi\in(-\pi,\pi], isto é, escolher N=1 funciona.
  • Não é necessário nem possível escolher um N com valor absoluto maior que 1 porque isso deslocaria o ângulo por múltiplos adicionais de 2\pi e sairia do intervalo desejado. Portanto o inteiro N que ajusta a soma para o argumento principal satisfaz
N\in\{-1,0,1\}.

Passo 5

Escrever os logaritmos e concluir a identidade.
  • Usando a definição do logaritmo principal,
\operatorname{Log} z_{1} = \ln r_{1} + i\theta_{1},\qquad \operatorname{Log} z_{2} = \ln r_{2} + i\theta_{2}.
  • O logaritmo principal do produto é
\operatorname{Log}(z_{1}z_{2}) = \ln(r_{1}r_{2}) + i\,\operatorname{Arg}(z_{1}z_{2}).
Usando \ln(r_{1}r_{2})=\ln r_{1}+\ln r_{2} e \operatorname{Arg}(z_{1}z_{2})= \theta_{1}+\theta_{2}+2N\pi com N\in\{-1,0,1\}, obtemos
\operatorname{Log}(z_{1}z_{2}) = (\ln r_{1}+\ln r_{2}) + i(\theta_{1}+\theta_{2}+2N\pi).
  • Reagrupando,
\operatorname{Log}(z_{1}z_{2}) = (\ln r_{1}+i\theta_{1}) + (\ln r_{2}+i\theta_{2}) + 2N\pi i
ou seja
\operatorname{Log}(z_{1}z_{2}) = \operatorname{Log}(z_{1}) + \operatorname{Log}(z_{2}) + 2N\pi i,
com N\in\{-1,0,1\}.
  • Se em vez do logaritmo principal escolhermos valores quaisquer da família multivalorada, a mesma relação continua válida: os diferentes ramos mudam as partes imaginárias por múltiplos de 2\pi, e a diferença entre o log do produto e a soma dos logs é sempre um múltiplo inteiro de 2\pi i; restringindo-se aos argumentos principais o inteiro possível fica limitado a -1,0,1 como mostrado.

Resposta

\log\left(z_{1}z_{2}\right)=\log\left(z_{1}\right)+\log\left(z_{2}\right)+2N\pi i,\qquad N\in\{0,-1,1\}

Exercícios relacionados