Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
A informação dada é o número complexo
. Não há outras informações explícitas, então vamos assumir a definição usual do logaritmo complexo (valor principal), que será explicada a seguir.
Passo 2
Definição e ideia principal (explicação pedagógica e sem pular etapas). Para um número complexo
escrevemos
em forma polar:
onde
é o módulo e
é um argumento de
. O logaritmo complexo é multivalorado e, de modo geral,
porque adicionar
a
não altera
. O valor principal do logaritmo, que denotamos por
ou simplesmente
quando for o caso, usa o argumento principal
escolhido no intervalo
. Assim o valor principal é
com
. Vou usar essa definição principal aqui.
Passo 3
Calcular o módulo de
. Como o módulo é multiplicativo e
(pois
) e
, temos
Portanto
. (Aqui usei que
, a logaritmo natural de
.)
Passo 4
Calcular o argumento principal de
. Há duas formas rápidas de ver:
Forma A (por fatores): escrevemos
Sabemos que
tem argumento
(90°). Multiplicar por
adiciona
ao argumento, então o argumento de
é
Mas
está fora do intervalo principal
. Subtraindo
obtemos o argumento equivalente no intervalo principal:
Logo
.
Forma B (intuição geométrica):
aponta para cima (90°). Multiplicar por
vira a seta 180°; assim a direção final é 270°, que é a mesma que
, isto é
. Mesmo resultado.
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula do logaritmo principal:
Substituindo os valores que achamos:
Passo 6
Verificação rápida por exponenciação (pra ficar seguro): se
, então
confirmando que o logaritmo encontrado é coerente com a exponenciação. Observação: a resposta acima é o valor principal; o logaritmo geral teria termos
.