Mostre que
\log (-e i)=1-\frac{\pi}{2} i;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\log(-e i)=1-\frac{\pi}{2}i.
A informação dada é o número complexo -e i. Não há outras informações explícitas, então vamos assumir a definição usual do logaritmo complexo (valor principal), que será explicada a seguir.

Passo 2

Definição e ideia principal (explicação pedagógica e sem pular etapas). Para um número complexo z\neq 0 escrevemos z em forma polar:
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 é o módulo e \theta é um argumento de z. O logaritmo complexo é multivalorado e, de modo geral,
\log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),\qquad k\in\mathbb{Z},
porque adicionar 2\pi a \theta não altera e^{i\theta}. O valor principal do logaritmo, que denotamos por \Log z ou simplesmente \log z quando for o caso, usa o argumento principal \Arg z escolhido no intervalo (-\pi,\pi]. Assim o valor principal é
\log z = \ln|z| + i\,\Arg z,
com \Arg z\in(-\pi,\pi]. Vou usar essa definição principal aqui.

Passo 3

Calcular o módulo de -e i. Como o módulo é multiplicativo e |e|=e (pois e>0) e |i|=1, temos
| -e i | = e\,| -i | = e\cdot 1 = e.
Portanto \ln| -e i| = \ln e = 1. (Aqui usei que \ln e=1, a logaritmo natural de e.)

Passo 4

Calcular o argumento principal de -e i. Há duas formas rápidas de ver:
Forma A (por fatores): escrevemos
- e i = e \cdot (-i).
Sabemos que i tem argumento \frac{\pi}{2} (90°). Multiplicar por -1 adiciona \pi ao argumento, então o argumento de -i é
\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}.
Mas \frac{3\pi}{2} está fora do intervalo principal (-\pi,\pi]. Subtraindo 2\pi obtemos o argumento equivalente no intervalo principal:
\frac{3\pi}{2}-2\pi = -\frac{\pi}{2}.
Logo \Arg(-i) = -\frac{\pi}{2}.
Forma B (intuição geométrica): i aponta para cima (90°). Multiplicar por -1 vira a seta 180°; assim a direção final é 270°, que é a mesma que -90^\circ, isto é -\frac{\pi}{2}. Mesmo resultado.
Portanto
\Arg(-e i) = -\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do logaritmo principal:
\log(-e i) = \ln| -e i | + i\,\Arg(-e i).
Substituindo os valores que achamos:
\log(-e i) = 1 + i\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - \frac{\pi}{2}i.

Passo 6

Verificação rápida por exponenciação (pra ficar seguro): se \log(-e i)=1-\dfrac{\pi}{2}i, então
e^{\,1-\frac{\pi}{2}i} = e\cdot e^{-i\frac{\pi}{2}} = e\cdot\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = e\cdot(0 - i)= -e i,
confirmando que o logaritmo encontrado é coerente com a exponenciação. Observação: a resposta acima é o valor principal; o logaritmo geral teria termos +2k\pi i.

Resposta

\log(-e i)=1-\dfrac{\pi}{2}i

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