Encontre as áreas da região sombreada.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y=\operatorname{sen} x, y=e^{x}, x=0, x=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = \sin x,\quad y = e^x,\quad x=0,\quad x = \frac{\pi}{2}.
O conteúdo é “área entre duas curvas”. Vamos precisar determinar qual função está acima da outra em [0,\pi/2] e então integrar a diferença.

Passo 2

No intervalo 0\le x\le \tfrac{\pi}{2} temos
\sin x\;:\;0\to1, \quad e^x\;:\;1\to e^{\pi/2}\approx4{,}8,
logo e^x>\sin x em toda essa faixa. Assim a curva superior é y=e^x e a inferior é y=\sin x.

Passo 3

Para calcular a área é mais natural integrar em x. Um retângulo aproximante em x tem largura \Delta x e altura
\bigl(e^x - \sin x\bigr).

Passo 4

A área A é
A = \int_{0}^{\pi/2}\bigl[e^x - \sin x\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculemos as primitivas:
\int e^x\,dx = e^x, \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x.
Logo
A = \Bigl[e^x + \cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \bigl(e^{\pi/2} + \cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) - \bigl(e^0 + \cos0\bigr) = \bigl(e^{\pi/2} + 0\bigr) - \bigl(1 + 1\bigr) = e^{\pi/2} - 2.

Resposta

A área da região é
e^{\pi/2} - 2.

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