Resolva os Exercícios 1 e 2 usando o seguinte resultado:
Teorema 1. Sejam f uma função de duas variáveis e g uma função de uma variável tais que \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=a e \lim _{u \rightarrow a} g(u)=L com a \notin D_{g} e \operatorname{Im}_{f} \subset D_{g}. Então
onde (x_{0},y_{0})=(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}).
O conteúdo é cálculo de limite de função composta e uso de substituição para estudar o comportamento quando o denominador tende a zero.
Passo 2
Note que em (x_{0},y_{0}) temos
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=\frac12+\frac12=1,
logo ao aproximar (x,y) de (x_{0},y_{0}) o denominador
d = x^{2}+y^{2}-1
tende a zero.
Passo 3
Estudamos dois casos:
Se x^{2}+y^{2}<1 então d<0 e
f(x,y)=\exp\bigl(\tfrac1d\bigr).
Se x^{2}+y^{2}>1 então d>0 e
f(x,y)=0.
Passo 4
No caso interno d<0 definimos
t=\frac1d,
então d\to0^{-}\implies t\to-\infty. A fração fica