Resolva os Exercícios 1 e 2 usando o seguinte resultado:
Teorema 1. Sejam f uma função de duas variáveis e g uma função de uma variável tais que \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=a e \lim _{u \rightarrow a} g(u)=L com a \notin D_{g} e \operatorname{Im}_{f} \subset D_{g}. Então
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} g(f(x, y))=\lim _{u \rightarrow a} g(u)=L
No caso em que a \in D_{g} e g é uma função contínua, o resultado ainda é verdadeiro.
( \mathbf{1 , 0} ponto) Seja
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \mathrm{e}^{\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}\right)}, & \text { se } x^{2}+y^{2}<1 \\\\ 0, & \text { se } x^{2}+y^{2} \geq 1 \end{array} .\right.
Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}-1}
em que \left(x_{0}, y_{0}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado do Exercício 1 define a função de duas variáveis
f(x,y)= \begin{cases} \mathrm{e}^{\bigl(\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}-1}\bigr)},& x^{2}+y^{2}<1,\\\\ 0,& x^{2}+y^{2}\ge1, \end{cases}
e pede
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\frac{f(x,y)}{x^{2}+y^{2}-1},
onde (x_{0},y_{0})=(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}).
O conteúdo é cálculo de limite de função composta e uso de substituição para estudar o comportamento quando o denominador tende a zero.

Passo 2

Note que em (x_{0},y_{0}) temos
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=\frac12+\frac12=1,
logo ao aproximar (x,y) de (x_{0},y_{0}) o denominador
d = x^{2}+y^{2}-1
tende a zero.

Passo 3

Estudamos dois casos:
  1. Se x^{2}+y^{2}<1 então d<0 e
f(x,y)=\exp\bigl(\tfrac1d\bigr).
  1. Se x^{2}+y^{2}>1 então d>0 e
f(x,y)=0.

Passo 4

No caso interno d<0 definimos
t=\frac1d,
então d\to0^{-}\implies t\to-\infty. A fração fica
\frac{f(x,y)}{d} =\frac{e^{1/d}}{d} =\frac{e^{t}}{1/t} =t\,e^{t}.

Passo 5

Como t\to-\infty, sabemos que
t\,e^{t}\to0
(pois a exponencial domina o fator linear no infinito negativo).

Passo 6

No caso externo d>0 temos f(x,y)=0, logo
\frac{f(x,y)}{d}=0.

Passo 7

Concluímos que, em qualquer aproximação,
\frac{f(x,y)}{x^{2}+y^{2}-1}\to0.

Resposta

Exercício 1: 0 Exercício 2: não há enunciado disponível para resolução.

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