Como mede o observador 𝑆′ :
Um cabo condutor de comprimento infinito e raio r transporta uma corrente i e tem densidade de carga nula visto por um observador em repouso S, isto é, em S o cabo consiste em cargas positivas fixas e um fluxo de elétrons de densidade uniforme se movendo com velocidade (relativística) u. Um segundo observador S^prime viaja com direção paralela ao cabo com velocidade (também relativística) v.
(a) O campo eletromagnético ?
(b) A densidade de carga no cabo ?
© As velocidades do fluxo de elétrons e das cargas positivas no condutor?
(d) Como explicaria a presença de densidade de carga vista por S^prime se a densidade de carga vista por S é nula ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um fio condutor infinito de raio r transportando corrente i. Em S ele é neutro (cargas positivas fixas e elétrons móveis de densidade –λ₀ se movendo a u). Um observador S′ se desloca paralelamente ao fio com velocidade v. Vamos usar: campo em S, transformações de campo, transformações de densidade de carga e soma relativística de velocidades.

Passo 2

Em S o fio não tem campo elétrico externo (E=0) e gera apenas campo magnético circular dado pelo teorema de Ampère:
Bphi(R)=mu0,i2pi,R
Para obter o campo em S′ usamos as fórmulas de transformação relativística: as componentes perpendiculares satisfazem
E'perp=gammal(Eperp+vtimesBr),
B'perp=gammal(Bperp-vtimesEc^2r)
Como em S temos E=0, resulta
E'=-gamma,vtimesB,
B'=1gamma,B

Passo 3

Para a densidade de carga em S′ usamos a transformação de densidade e corrente:
lambda'=gammal(lambda-vc^2Jr)
Em S: lambda+=lambda0, J+=0; e lambda-=-lambda0, J- =lambda-u. Logo
lambda'+=gamma,lambda0,
lambda'- =gammal(-lambda0-v(-lambda0u)c^2r)=gamma,lambda0l(-1+vuc^2r)
Somando, obtemos carga líquida
lambda'=lambda'++lambda'- =gamma,lambda0vuc^2 =gammai,vc^2

Passo 4

As velocidades vistas em S′ vêm da soma relativística:
u'+ =0-v1-0cdot v/c^2=-v,
u'- =u-v1-uvc^2

Passo 5

A presença de densidade de carga em S′, mesmo com fio neutro em S, se explica fisicamente pela contração de Lorentz: cargas móveis e fixas comprimem-se diferentemente, gerando um excesso de carga líquida em S′.

Resposta

(a) Em S′ surge um campo elétrico radial e um campo magnético reduzido:
B'phi(R)=1gammamu0 i2pi R, E'r(R)=-gamma v,Bphi(R)=-gamma vmu0 i2pi R
(b) A densidade de carga líquida em S′ é
lambda' = gammai,vc^2
© As velocidades em S′ são
u'+ = -v (cargas positivas),
u'- = u-v1-uvc^2 (elétrons) é
(d) A explicação é que a contração de Lorentz atua de modo diferente nas densidades de cargas fixas e móveis, criando em S′ uma carga líquida aparente mesmo quando em S o fio é neutro.

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