Verifique se S=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in \mathbb{Z}\} é um subanel

Passo 1

O enunciado pede para verificar se S=\{a+b\sqrt{2} \; ;\; a,b\in\mathbb{Z}\} é um subanel (subring) — ou seja, se S é um subconjunto de um anel (aqui assumimos o anel dos números reais \mathbb{R} com as operações usuais) que, com as operações herdadas, é ele próprio um anel.
Informações dadas:
  • S é o conjunto de todas as combinações lineares inteiras de 1 e \sqrt{2}: coeficientes a,b são inteiros.
  • Trabalhamos no contexto dos números reais, onde \sqrt{2} é um número real e \mathbb{Z} é fechado sob soma, subtração e multiplicação.

Passo 2

Lembra da definição prática que vamos usar (muito útil em provas): para verificar que um subconjunto S de um anel R é subanel, basta mostrar que
  1. S é não vazio;
  2. S é fechado sob subtração: se x,y\in S então x-y\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação: se x,y\in S então xy\in S.
Explicando por que essas três condições bastam: se S é não vazio e fechado por subtração, então tomando qualquer x\in S temos x-x=0\in S (logo o zero está em S), e também 0-x=-x\in S (logo todo inverso aditivo de x está em S). E como x+y = x - (-y), a fechadura por subtração dá fechadura por soma também. Fechadura por multiplicação garante o item multiplicativo do anel. Assim essas três propriedades garantem que S é um anel com as operações herdadas.

Passo 3

Mostro que S é não vazio.
Note que 0 = 0 + 0\sqrt{2} e 0,0\in\mathbb{Z}. Assim 0\in S. Portanto S é não vazio.

Passo 4

Fechadura por subtração (passo fundamental).
Sejam dois elementos quaisquer de S:
x = a + b\sqrt{2},\qquad y = c + d\sqrt{2},
com a,b,c,d\in\mathbb{Z} (peguei esses símbolos do enunciado). Então a diferença é
x-y = (a+b\sqrt{2}) - (c+d\sqrt{2}) = (a-c) + (b-d)\sqrt{2}.
Como a-c\in\mathbb{Z} e b-d\in\mathbb{Z} (os inteiros são fechados por subtração), concluímos que x-y tem a forma A + B\sqrt{2} com A,B\in\mathbb{Z}, logo x-y\in S. Assim S é fechado sob subtração.

Passo 5

Fechadura por multiplicação.
Tomando os mesmos x e y acima, calcule o produto:
xy = (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}).
Multiplicando e usando (\sqrt{2})^2=2, obtemos
xy = ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + bd(\sqrt{2})^2 = (ac + 2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}.
Agora ac+2bd\in\mathbb{Z} e ad+bc\in\mathbb{Z} porque inteiros são fechados por soma e produto. Portanto xy tem a forma A + B\sqrt{2} com A,B\in\mathbb{Z}, isto é, xy\in S. Logo S é fechado sob multiplicação.

Passo 6

(Observação extra útil) O elemento unidade 1 do anel \mathbb{R} também está em S, pois 1 = 1 + 0\sqrt{2} com 1,0\in\mathbb{Z}. Assim S é um subanel de \mathbb{R} que contém a unidade.

Passo 7

Conclusão: verificamos que S é não vazio, fechado sob subtração e fechado sob multiplicação. Pelas condições dadas na teoria, isso basta para afirmar que S é um subanel de \mathbb{R}. (Comentário final amigo: outra forma de dizer isso é que S=\mathbb{Z}[\sqrt{2}], o anel gerado por \sqrt{2} sobre \mathbb{Z}.)

Resposta

Sim. S=\{a+b\sqrt{2}\; ;\; a,b\in\mathbb{Z}\} é um subanel de \mathbb{R}.

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