Verifique se
é um subanel
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subanel (subring) — ou seja, se
é um subconjunto de um anel (aqui assumimos o anel dos números reais
com as operações usuais) que, com as operações herdadas, é ele próprio um anel.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o conjunto de todas as combinações lineares inteiras de e : coeficientes são inteiros. - Trabalhamos no contexto dos números reais, onde
é um número real e é fechado sob soma, subtração e multiplicação.
Passo 2
Lembra da definição prática que vamos usar (muito útil em provas): para verificar que um subconjunto
de um anel
é subanel, basta mostrar que
-
é não vazio; -
é fechado sob subtração: se então ; -
é fechado sob multiplicação: se então .
Explicando por que essas três condições bastam: se
é não vazio e fechado por subtração, então tomando qualquer
temos
(logo o zero está em
), e também
(logo todo inverso aditivo de
está em
). E como
, a fechadura por subtração dá fechadura por soma também. Fechadura por multiplicação garante o item multiplicativo do anel. Assim essas três propriedades garantem que
é um anel com as operações herdadas.
Passo 3
Mostro que
é não vazio.
Note que e
. Assim
. Portanto
é não vazio.
Note que
Passo 4
Fechadura por subtração (passo fundamental).
Sejam dois elementos quaisquer de :
Sejam dois elementos quaisquer de
com
(peguei esses símbolos do enunciado). Então a diferença é
Como
e
(os inteiros são fechados por subtração), concluímos que
tem a forma
com
, logo
. Assim
é fechado sob subtração.
Passo 5
Fechadura por multiplicação.
Tomando os mesmos e
acima, calcule o produto:
Tomando os mesmos
Multiplicando e usando
, obtemos
Agora
e
porque inteiros são fechados por soma e produto. Portanto
tem a forma
com
, isto é,
. Logo
é fechado sob multiplicação.
Passo 6
(Observação extra útil) O elemento unidade
do anel
também está em
, pois
com
. Assim
é um subanel de
que contém a unidade.
Passo 7
Conclusão: verificamos que
é não vazio, fechado sob subtração e fechado sob multiplicação. Pelas condições dadas na teoria, isso basta para afirmar que
é um subanel de
. (Comentário final amigo: outra forma de dizer isso é que
, o anel gerado por
sobre
.)
Resposta
Sim.
é um subanel de
.