Mostre qual é o maior conjunto em que as seguintes funções são contínuas
f(x, y)=\left\{\begin{array}{r}\frac{x^{2} \sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}\sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o maior conjunto em que f é contínua. O conteúdo é análise de continuidade de função real de duas variáveis, e vamos precisar (1) identificar o domínio, (2) verificar continuidade nos pontos em que a fórmula vale diretamente e (3) checar os pontos do ``contorno'', isto é, (x,0) e (0,0).]

Passo 2

Identificamos o domínio natural de f. A expressão \sqrt{y} exige
y\ge0,
e o denominador x^{2}+y^{2} só anula-se em (x,y)=(0,0), mas aí f já está definida por continuidade pontual igual a 0. Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\ge0\}.

Passo 3

Para qualquer ponto (a,b) com b>0, a função
(x,y)\mapsto \frac{x^{2}\sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}
é composição de funções contínuas (polinômios, raiz e soma no denominador não zero). Assim f é contínua em todo ponto de D com y>0.

Passo 4

Considere agora um ponto (a,0) com a\neq0. Temos
f(a,0)=\frac{a^{2}\sqrt{0}}{a^{2}+0}=0.
Quando (x,y)\to(a,0) em D, o numerador tende a a^{2}\cdot0=0 e o denominador tende a a^{2}\neq0, de modo que
\lim_{(x,y)\to(a,0)}f(x,y)=0=f(a,0).
Logo f é contínua em todos os pontos (a,0) com a\neq0.

Passo 5

Resta verificar (0,0). Em coordenadas polares (restritas a y\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi]), escrevemos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
com r\ge0. Então, para r>0,
f(r,\theta) =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta\;\sqrt{r\sin\theta}}{r^{2}} =r^{\frac12}\,\cos^{2}\theta\;\sqrt{\sin\theta}.
À medida que r\to0, esse valor tende a 0 para qualquer \theta. Como f(0,0)=0, concluímos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
isto é, f é contínua em (0,0).

Passo 6

Juntando tudo, f é contínua em cada ponto do seu domínio
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\ge0\}.

Resposta

A função f é contínua em todo o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\ge0\}.

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