Mostre qual é o maior conjunto em que as seguintes funções são contínuas f(x, y)=\left\{\begin{array}{r}\frac{x^{2} \sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
e pede o maior conjunto em que f é contínua. O conteúdo é análise de continuidade de função real de duas variáveis, e vamos precisar (1) identificar o domínio, (2) verificar continuidade nos pontos em que a fórmula vale diretamente e (3) checar os pontos do ``contorno'', isto é, (x,0) e (0,0).]
Passo 2
Identificamos o domínio natural de f. A expressão \sqrt{y} exige
y\ge0,
e o denominador x^{2}+y^{2} só anula-se em (x,y)=(0,0), mas aí f já está definida por continuidade pontual igual a 0. Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\ge0\}.
Passo 3
Para qualquer ponto (a,b) com b>0, a função
(x,y)\mapsto \frac{x^{2}\sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}
é composição de funções contínuas (polinômios, raiz e soma no denominador não zero). Assim f é contínua em todo ponto de D com y>0.
Passo 4
Considere agora um ponto (a,0) com a\neq0. Temos
f(a,0)=\frac{a^{2}\sqrt{0}}{a^{2}+0}=0.
Quando (x,y)\to(a,0) em D, o numerador tende a a^{2}\cdot0=0 e o denominador tende a a^{2}\neq0, de modo que
\lim_{(x,y)\to(a,0)}f(x,y)=0=f(a,0).
Logo f é contínua em todos os pontos (a,0) com a\neq0.
Passo 5
Resta verificar (0,0). Em coordenadas polares (restritas a y\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi]), escrevemos