Encontre a derivada da função:
y=\int_{\operatorname{sen} x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \int_{\sin x}^{1} \sqrt{1 + t^2}\,dt
e pede y'. O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para limites dependentes e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo estendido, se
y = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então
y' = f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Na nossa tarefa, a(x)=\sin x, b(x)=1 e f(t)=\sqrt{1+t^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
b'(x)=\frac{d}{dx}(1)=0,
a'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.

Passo 4

Substituindo em
y' = f(1)\cdot 0 \;-\; f(\sin x)\cdot \cos x
vem
y' = -\sqrt{1 + (\sin x)^2}\,\cos x.

Resposta

y' = -\cos x \sqrt{1 + \sin^2 x}.

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