A energia de rotação característica E_{0 r} para o \mathrm{O}_{2} é 1,78 \times 10^{-4} \mathrm{eV}. Use este valor para calcular a distância de separação entre os dois átomos de oxigênio.

Passo 1

O enunciado dá o valor da energia de rotação característica do \mathrm{O}_2 e pede a distância de separação entre os dois átomos de oxigénio.
Dados fornecidos:
\displaystyle E_{0r}=1,78\times10^{-4}\\ \mathrm{eV}.
Objetivo: calcular a distância internuclear (comprimento de ligação) entre os dois átomos de oxigénio.

Passo 2

Vamos entender a relação física que liga a energia rotacional característica à distância entre os átomos, sem ainda calcular nada. Para um rotor rígido (molécula diatómica idealizada), os níveis de energia rotacional vêm dados por
E_J=\frac{\hbar^{2}}{2I}\,J(J+1),
onde \hbar é a constante de Planck reduzida, I é o momento de inércia da molécula e J é o número quântico rotacional ( J=0,1,2,\dots). A quantidade \displaystyle \frac{\hbar^{2}}{2I} é a energia característica da rotação; por isso identificamos
E_{0r}=\frac{\hbar^{2}}{2I}.
O momento de inércia I de uma molécula diatómica é
I=\mu r^{2},
onde \mu é a massa reduzida e r é a separação entre os núcleos (o que queremos achar). Para duas massas iguais m (como em \mathrm{O}_2) a massa reduzida é
\mu=\frac{m}{2}.

Passo 3

Isolando r a partir de E_{0r}=\dfrac{\hbar^{2}}{2\mu r^{2}} obtemos a fórmula prática que usaremos:
r=\sqrt{\dfrac{\hbar^{2}}{2\mu E_{0r}}}.
Aqui:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (em \mathrm{J\cdot s}),
  • \mu é a massa reduzida (em \mathrm{kg}),
  • E_{0r} deve estar em joules ( \mathrm{J}) para consistência de unidades.

Passo 4

Agora calculamos cada quantidade numérica necessária. Primeiro a massa do átomo de oxigénio: usamos a massa atómica aproximada 16 unidades de massa atómica ( 16\\ \mathrm{u}), e
\mathrm{u}=1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Assim a massa de um átomo de oxigénio é
m=16\times 1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}=2,65686250656\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
A massa reduzida é
\mu=\frac{m}{2}=1,32843125328\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Convertendo a energia dada em \mathrm{eV} para joules: 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
E_{0r}=1,78\times10^{-4}\\ \mathrm{eV}=1,78\times10^{-4}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =2,85187440852\times10^{-23}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora usamos \hbar=1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Calculamos o numerador e o denominador da expressão dentro da raiz:
\hbar^{2}\approx(1,054571817\times10^{-34})^{2}=1,112121\times10^{-68}\\ \mathrm{J^{2}\,s^{2}}
(estou arredondando a mantissa para manter os passos legíveis; o cálculo final usa precisão compatível). O denominador é
2\mu E_{0r}=2\times(1,32843125328\times10^{-26})\times(2,85187440852\times10^{-23}) \approx7,576035\times10^{-49}\\ \mathrm{kg\cdot J}.
Portanto
r^{2}=\frac{\hbar^{2}}{2\mu E_{0r}}\approx\frac{1,112121\times10^{-68}}{7,576035\times10^{-49}}=1,468\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
Tirando raiz quadrada:
r=\sqrt{1,468\times10^{-20}}\\ \mathrm{m}\approx1,212\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Convertemos para unidades mais comuns em ligações químicas: 1\\ \text{\AA}=1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Logo
r\approx1,212\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=1,212\\ \text{\AA}.
Esse valor está coerente com o comprimento de ligação experimental do \mathrm{O}_2 (cerca de 1,21\\ \text{\AA}), o que dá confiança no procedimento e nos arredondamentos feitos.

Resposta

r\approx1,21\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=1,21\\ \text{\AA}

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