(a) Calcule a energia potencial de atração entre os íons de \mathrm{Na}^{+}e \mathrm{Cl}^{-}na separação de equilíbrio r_{0}=0,236 \mathrm{~nm}. (b) Qual é a energia devida à repulsão dos íons na separação de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a energia potencial de atração entre os íons \mathrm{Na}^{+} e \mathrm{Cl}^{-} quando estão separados por \,r_{0}=0,236\\ \mathrm{nm}.
  • (b) Calcular a energia devida à repulsão dos íons nessa mesma separação de equilíbrio.
Informações dadas e constantes que usaremos:
r_{0}=0,236\\ \mathrm{nm}=2,36\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Cada íon tem carga de magnitude e, com
e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
A constante eletrostática (no vácuo) é
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Observação: como não foi dada uma forma explícita para a repulsão, vou modelar a repulsão com um termo de potência típico U_{\text{rep}}(r)=\dfrac{B}{r^{n}} (Born-type), e usar a condição de equilíbrio (forças compensadas) para relacionar B e obter a energia repulsiva em termos de n. Se o enunciado desejava um valor numérico sem fornecer n, não é possível dar um número único sem essa informação; então entrego a expressão geral e um exemplo numérico para um valor típico de n.

Passo 2

Fórmula da energia potencial eletrostática (Coulomb) entre duas cargas puntuais q_{1} e q_{2} separadas por r:
U(r)=k\frac{q_{1}q_{2}}{r}.
Explicação: U(r) é a energia potencial elétrica (em joules), k é a constante citada, q_{1} e q_{2} são as cargas (em coulombs) e r é a distância entre elas (em metros). Para cargas opostas ( q_{1}q_{2}<0) vemos que U é negativo, indicando energia de ligação (atração).
No nosso caso q_{1}=+e e q_{2}=-e, então
U_{\text{atr}}(r) = k\frac{(+e)(-e)}{r} = -\,k\frac{e^{2}}{r}.
Também vou mostrar a conversão para elétron-volts ( \mathrm{eV}) usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Cálculo numérico da energia de atração em \,r_{0}.
  1. Calcular e^{2}:
e^{2}=(1,602\times10^{-19})^{2}=2,5664\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
  1. Calcular k e^{2}:
k\,e^{2}=(8,98755179\times10^{9})(2,5664\times10^{-38})=2,3071\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  1. Dividir por r_{0}=2,36\times10^{-10}\\ \mathrm{m}:
\frac{k e^{2}}{r_{0}}=\frac{2,3071\times10^{-28}}{2,36\times10^{-10}}=9,777\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  1. Incluir o sinal (atração é negativa):
U_{\text{atr}}(r_{0})=-9,777\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  1. Converter para \mathrm{eV}:
U_{\text{atr}}(r_{0})=\frac{-9,777\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}=-6,10\\ \mathrm{eV}.
Arredondando razoavelmente: U_{\text{atr}}(r_{0})\approx -9,78\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx -6,10\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Cálculo (teórico) da energia de repulsão em r_{0} usando um modelo de potência.
  1. Modelo total da energia (atração coulombiana + repulsão de potência):
U(r)=-k\frac{e^{2}}{r}+\frac{B}{r^{n}},
com B>0 e n>0 (Born-type).
  1. Condição de equilíbrio (força resultante nula) implica dU/dr=0 em r=r_{0}. Calcule dU/dr:
\frac{dU}{dr}=k\frac{e^{2}}{r^{2}}-n\frac{B}{r^{\,n+1}}.
Impondo \frac{dU}{dr}\Big|_{r_{0}}=0:
k\frac{e^{2}}{r_{0}^{2}}-n\frac{B}{r_{0}^{\,n+1}}=0.
  1. Isolando B:
n\frac{B}{r_{0}^{\,n+1}}=k\frac{e^{2}}{r_{0}^{2}} \quad\Rightarrow\quad B=\frac{k e^{2}\,r_{0}^{\,n-1}}{n}.
  1. Energia repulsiva em r_{0}:
U_{\text{rep}}(r_{0})=\frac{B}{r_{0}^{n}}=\frac{1}{r_{0}^{n}}\cdot\frac{k e^{2}\,r_{0}^{\,n-1}}{n}=\frac{k e^{2}}{n\,r_{0}}.
Interpretação: a energia repulsiva em equilíbrio tem sinal positivo e magnitude igual a 1/n da magnitude do termo de atração coulombiano \dfrac{k e^{2}}{r_{0}}. Portanto, numericamente,
U_{\text{rep}}(r_{0})=+\frac{1}{n}\,\frac{k e^{2}}{r_{0}}=+\frac{1}{n}\,(9,777\times10^{-19}\\ \mathrm{J})=+\frac{1}{n}\,(6,10\\ \mathrm{eV}).
  1. Exemplo numérico (valor típico do expoente de Born): se tomarmos n=9 (valor frequentemente usado como exemplo),
U_{\text{rep}}(r_{0})=+\frac{1}{9}\,9,777\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=+1,086\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx+0,679\\ \mathrm{eV}.
Mas reforço: sem um valor de n dado no enunciado, só podemos fornecer a expressão geral em termos de n.

Resposta

(a) U_{\text{atr}}(r_{0})=-9,78\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = -6,10\\ \mathrm{eV}.\n(b) U_{\text{rep}}(r_{0})=+\dfrac{1}{n}\dfrac{k e^{2}}{r_{0}}=+\dfrac{1}{n}\,9,777\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=+\dfrac{1}{n}\,6,10\\ \mathrm{eV} (por exemplo, para n=9: U_{\text{rep}}(r_{0})\approx+1,09\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=+0,679\\ \mathrm{eV}).

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