a) Existe \vec{u} tal que \vec{u}=(-\vec{u})
b) O vetor \frac{1}{\|\vec{u}\|^{2}} \cdot \vec{u} é um vetor unitário
c) Para todo \vec{u} e \alpha \in \mathbb{R}_{-}(conjunto dos números Reais não-positivos), temos \|\alpha \vec{u}\| \neq \alpha\|\vec{u}\|
d) Se A=(2,1,-1), B=(1,-1,2), C=(0,8,2) e D=(-2,4,8), então os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C D} são paralelos.
Passo 1
O que o enunciado pede: classificar cada afirmação (a), (b), (c) e (d) como Verdadeira ou Falsa. Informações dadas (relevantes):
Afirmação (a): existe \vec{u} tal que \vec{u}=(-\vec{u}).
Afirmação (b): considera o vetor \dfrac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\cdot\vec{u} e pergunta se é unitário.
Afirmação (c): vale para todo \vec{u} e todo \alpha\in\mathbb{R}_{-} que \|\alpha\vec{u}\|\neq\alpha\|\vec{u}\|. (Aqui \mathbb{R}_{-}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 0\}.)
Afirmação (d): com A=(2,1,-1),\;B=(1,-1,2),\;C=(0,8,2),\;D=(-2,4,8), verificar se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} são paralelos.
Nada mais será assumido — vou trabalhar cada item e mostrar os cálculos passo a passo.
Passo 2
(a) Procuramos \vec{u} tal que \vec{u} = -\vec{u}. Faço a manipulação algébrica direta:
\vec{u} = -\vec{u}
somando \vec{u} aos dois lados:
\vec{u} + \vec{u} = \vec{0}
ou seja
2\vec{u} = \vec{0}.
Dividindo por 2 (ou pensando que o único vetor que duplicado dá \vec{0} é \vec{0}):
\vec{u}=\vec{0}.
Conclusão: existe sim um vetor que satisfaz a igualdade — é o vetor nulo \vec{0}. Portanto a afirmação é Verdadeira. Observação didática: a igualdade \vec{u}=-\vec{u} força \vec{u} a ser o vetor nulo e esse é o único que funciona.
Passo 3
(b) Primeiro lembro uma propriedade básica de norma: para todo escalar \alpha e todo vetor \vec{u},
\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha|\,\|\vec{u}\|.
Aqui \alpha=\dfrac{1}{\|\vec{u}\|^{2}} (apenas faz sentido se \|\vec{u}\|\neq 0). Calculo a norma do vetor dado:
Ou seja, só é unitário quando \vec{u} já é unitário. Como a afirmação dizia que o vetor é unitário (sem condicionamento), isso não é verdade em geral. Contra-exemplo simples: tome \vec{u}=(2,0,0). Então \|\vec{u}\|=2 e
que tem norma \tfrac{1}{2}\neq 1. Conclusão: a afirmação é Falsa. Observação didática: o procedimento correto para obter um vetor unitário na direção de \vec{u} é usar \dfrac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}, não \dfrac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\vec{u}.
Passo 4
(c) Uso novamente a propriedade da norma: para \alpha\in\mathbb{R}_{-} temos |\alpha|=-\alpha (pois \alpha\le 0). Logo, para qualquer \vec{u},
logo \|\alpha\vec{u}\|=\alpha\|\vec{u}\| acontece para \alpha=0 (independente de \vec{u}). Portanto a afirmação “para todo” é falsa, porque encontrei um \alpha\in\mathbb{R}_{-} (o próprio \alpha=0) que viola a negação. Além disso, se \vec{u}=\vec{0} qualquer \alpha também dá igualdade trivially. Conclusão: a afirmação é Falsa. Observação didática: em geral \|\alpha\vec{u}\|=\alpha\|\vec{u}\| só quando \alpha\ge 0 (pois aí |\alpha|=\alpha); para \alpha\le 0 temos um sinal trocado, exceto nos casos degenerados mencionados.
Passo 5
(d) Calculo os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} pelas diferenças das coordenadas (vou pegar os dados do enunciado): A=(2,1,-1),\;B=(1,-1,2),\;C=(0,8,2),\;D=(-2,4,8). Então
Como um vetor é múltiplo escalar do outro, eles são paralelos. Conclusão: a afirmação é Verdadeira. Observação didática: critério prático para paralelismo entre vetores em \mathbb{R}^n: verificar se um é escalar vezes o outro.
Resposta
a) Verdadeiro\n
b) Falso\n
c) Falso\n
d) Verdadeiro