Classifique as afirmações em Verdadeiro ou Falso
a) Existe \vec{u} tal que \vec{u}=(-\vec{u})
b) O vetor \frac{1}{\|\vec{u}\|^{2}} \cdot \vec{u} é um vetor unitário
c) Para todo \vec{u} e \alpha \in \mathbb{R}_{-}(conjunto dos números Reais não-positivos), temos \|\alpha \vec{u}\| \neq \alpha\|\vec{u}\|
d) Se A=(2,1,-1), B=(1,-1,2), C=(0,8,2) e D=(-2,4,8), então os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C D} são paralelos.

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar cada afirmação (a), (b), (c) e (d) como Verdadeira ou Falsa. Informações dadas (relevantes):
  • Afirmação (a): existe \vec{u} tal que \vec{u}=(-\vec{u}).
  • Afirmação (b): considera o vetor \dfrac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\cdot\vec{u} e pergunta se é unitário.
  • Afirmação (c): vale para todo \vec{u} e todo \alpha\in\mathbb{R}_{-} que \|\alpha\vec{u}\|\neq\alpha\|\vec{u}\|. (Aqui \mathbb{R}_{-}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 0\}.)
  • Afirmação (d): com A=(2,1,-1),\;B=(1,-1,2),\;C=(0,8,2),\;D=(-2,4,8), verificar se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} são paralelos.
    Nada mais será assumido — vou trabalhar cada item e mostrar os cálculos passo a passo.

Passo 2

(a) Procuramos \vec{u} tal que \vec{u} = -\vec{u}. Faço a manipulação algébrica direta:
\vec{u} = -\vec{u}
somando \vec{u} aos dois lados:
\vec{u} + \vec{u} = \vec{0}
ou seja
2\vec{u} = \vec{0}.
Dividindo por 2 (ou pensando que o único vetor que duplicado dá \vec{0} é \vec{0}):
\vec{u}=\vec{0}.
Conclusão: existe sim um vetor que satisfaz a igualdade — é o vetor nulo \vec{0}. Portanto a afirmação é Verdadeira. Observação didática: a igualdade \vec{u}=-\vec{u} força \vec{u} a ser o vetor nulo e esse é o único que funciona.

Passo 3

(b) Primeiro lembro uma propriedade básica de norma: para todo escalar \alpha e todo vetor \vec{u},
\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha|\,\|\vec{u}\|.
Aqui \alpha=\dfrac{1}{\|\vec{u}\|^{2}} (apenas faz sentido se \|\vec{u}\|\neq 0). Calculo a norma do vetor dado:
\left\|\frac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\vec{u}\right\| = \frac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\;\|\vec{u}\| = \frac{1}{\|\vec{u}\|}.
Para que esse vetor seja unitário, sua norma deveria ser 1. Então precisaríamos de
\frac{1}{\|\vec{u}\|}=1 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{u}\|=1.
Ou seja, só é unitário quando \vec{u} já é unitário. Como a afirmação dizia que o vetor é unitário (sem condicionamento), isso não é verdade em geral. Contra-exemplo simples: tome \vec{u}=(2,0,0). Então \|\vec{u}\|=2 e
\frac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\vec{u}=\frac{1}{4}(2,0,0)=(\tfrac{1}{2},0,0)
que tem norma \tfrac{1}{2}\neq 1. Conclusão: a afirmação é Falsa. Observação didática: o procedimento correto para obter um vetor unitário na direção de \vec{u} é usar \dfrac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}, não \dfrac{1}{\|\vec{u}\|^{2}}\vec{u}.

Passo 4

(c) Uso novamente a propriedade da norma: para \alpha\in\mathbb{R}_{-} temos |\alpha|=-\alpha (pois \alpha\le 0). Logo, para qualquer \vec{u},
\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha|\,\|\vec{u}\| = -\alpha\,\|\vec{u}\|.
A afirmação afirma que \|\alpha\vec{u}\|\neq\alpha\|\vec{u}\| para todo \vec{u} e todo \alpha\in\mathbb{R}_{-}. Mas note que se \alpha=0 então
\|\alpha\vec{u}\|=\|0\cdot\vec{u}\|=0 \quad\text{e}\quad \alpha\|\vec{u}\|=0\cdot\|\vec{u}\|=0,
logo \|\alpha\vec{u}\|=\alpha\|\vec{u}\| acontece para \alpha=0 (independente de \vec{u}). Portanto a afirmação “para todo” é falsa, porque encontrei um \alpha\in\mathbb{R}_{-} (o próprio \alpha=0) que viola a negação. Além disso, se \vec{u}=\vec{0} qualquer \alpha também dá igualdade trivially. Conclusão: a afirmação é Falsa. Observação didática: em geral \|\alpha\vec{u}\|=\alpha\|\vec{u}\| só quando \alpha\ge 0 (pois aí |\alpha|=\alpha); para \alpha\le 0 temos um sinal trocado, exceto nos casos degenerados mencionados.

Passo 5

(d) Calculo os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} pelas diferenças das coordenadas (vou pegar os dados do enunciado):
A=(2,1,-1),\;B=(1,-1,2),\;C=(0,8,2),\;D=(-2,4,8). Então
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\,-1-1,\,2-(-1)) = (-1,-2,3).
E
\overrightarrow{CD}=D-C=(-2-0,\;4-8,\;8-2)=(-2,-4,6).
Observando,
\overrightarrow{CD}=2\cdot(-1,-2,3)=2\cdot\overrightarrow{AB}.
Como um vetor é múltiplo escalar do outro, eles são paralelos. Conclusão: a afirmação é Verdadeira. Observação didática: critério prático para paralelismo entre vetores em \mathbb{R}^n: verificar se um é escalar vezes o outro.

Resposta

a) Verdadeiro\n
b) Falso\n
c) Falso\n
d) Verdadeiro

Exercícios relacionados