Mostre que \mathbb{Z}_{3}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} não é subanel de \mathbb{Z}_{5}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}\}.
Passo 1
O enunciado dá as duas coleções de classes de resto: \mathbb{Z}_{3}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\} (aqui entendida como o subconjunto de \mathbb{Z}_5 formado por essas três classes) e \mathbb{Z}_{5}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}. A tarefa é mostrar que \mathbb{Z}_{3} (como conjunto desses três elementos em \mathbb{Z}_5) não é subanel de \mathbb{Z}_5.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Os elementos estão sendo considerados em \mathbb{Z}_5, ou seja, as operações são adição e multiplicação módulo 5.
O subconjunto em questão é S=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\subseteq\mathbb{Z}_5.
Devemos verificar se S satisfaz as condições exigidas para ser um subanel.
Passo 2
Vou explicar o que significa “ser subanel” de forma prática e direta (sem jargões escondidos): um subconjunto S de um anel R é um subanel se, quando você pega quaisquer a,b\in S,
a diferença a-b também está em S (isso garante que S é um subgrupo aditivo de R); e
o produto a\cdot b também está em S.
Essas duas condições juntas garantem que S é fechado para as operações do anel (adição/adição inversa e multiplicação) e contém o 0 do anel (pois a-a=0 para qualquer a\in S). Uma forma prática para negar que S seja um subanel é encontrar um par a,b\in S tal que a-b ou a\cdot b não pertença a S. Basta um contraexemplo para concluir que não é subanel.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso: tomaremos elementos concretos de S=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\} e verificaremos se a soma/diferença ou o produto permanecem em S. Se encontrarmos um resultado que sai de S, já provamos que S não é subanel.
Passo 4
Escolho os elementos \overline{2},\overline{2}\in S e calculemos a soma (que é equivalente ao verificar a diferença também, pois \overline{2}+\overline{2}=\overline{2}-\overline{(-2)}, mas aqui vou direto na soma porque é simples de ver):
Portanto a soma de dois elementos de S saiu de S, isto é, S não é fechado para a adição (nem para a subtração).
Passo 6
Como uma das condições necessárias para ser subanel (fechamento sob subtração/adição) falha, concluímos que S não é subanel de \mathbb{Z}_5. (Observação extra: o mesmo contraexemplo serve para multiplicação, pois \overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{4}\notin S.)
Resposta
\mathbb{Z}_{3} não é subanel de \mathbb{Z}_{5}, pois \overline{2}+\overline{2}=\overline{4}\notin\mathbb{Z}_{3}.