Seja
uma seqüência de subanéis de um anel
. Prove que,
é também um subanel de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado um anel
. - Para cada
existe um subanel de . Ou seja, cada é um subconjunto de que, segundo a definição de subanel que estamos assumindo, é fechado sob as operações relevantes (veremos a definição no passo seguinte). - Define-se
, a interseção de todos os .
O que devemos provar:
- Mostrar que
também é um subanel de . Ou seja, provar que satisfaz as mesmas propriedades que cada .
Passo 2
Antes de começar a provar, vamos recordar de forma bem didática o que significa “subanel” (vou usar a definição padrão mais usada em álgebra):
- Um subconjunto
é um subanel de se: -
não é vazio (usualmente é garantido por conter , o elemento neutro aditivo de ); -
é fechado sob subtração: para todo temos ; -
é fechado sob multiplicação: para todo temos .
-
Observações úteis:
- A condição de fechamento por subtração implica que
é um grupo aditivo (pois contém e inversos aditivos): se então tomando obtemos ; e então . Vou usar exatamente essas implicações na prova. - Algumas pessoas definem subanel exigindo também que o elemento identidade
de pertença ao subanel; outras não. Se cada contém , então a interseção também contém . Vou mencionar isso no final.
Passo 3
Primeiro, mostro que
é não vazio.
- Porque cada
é um subanel de , sabemos que para todo (já que subanéis contêm o elemento neutro aditivo). - Logo
pertence à interseção de todos eles, isto é . - Portanto
não é vazio.
Comentário amigo: já temos um ponto de segurança — sempre tem o zero lá dentro — então não precisamos nos preocupar com interseção vazia.
Passo 4
Agora, mostro que
é fechado sob subtração.
- Tome quaisquer
. Por definição de interseção, isso significa que para todo temos e . - Como cada
é subanel, cada é fechado sob subtração; assim para cada temos . - Se
para todo , então pertence à interseção . - Conclusão: para quaisquer
temos . Logo é fechado sob subtração.
Didática rápida: a ideia é simples e poderosa — ser comum a todos significa que qualquer propriedade que cada um tenha individualmente (fechamento sob uma operação) passa a valer para a interseção, porque você exige que o elemento esteja em todos.
Passo 5
A partir do fechamento por subtração e do fato de
, obtenho que
contém inversos aditivos (ou seja, para todo
o elemento
).
- De fato, para
já temos e, usando fechamento sob subtração, . - Assim
é um grupo aditivo (tem e inversos) — o que é necessário para ser subanel.
Passo 6
Mostro que
é fechado sob multiplicação.
- Tome quaisquer
. Como antes, e pertencem a cada . - Cada
é subanel, logo é fechado sob multiplicação; portanto para cada temos . - Assim
pertence à interseção . - Conclusão: para quaisquer
, . Logo é fechado sob multiplicação.
Passo 7
Juntando as propriedades que verificamos:
-
não é vazio (tem ); -
é fechado sob subtração (logo é grupo aditivo); -
é fechado sob multiplicação.
Portanto
satisfaz as condições da definição de subanel que usamos. Isso prova que
é um subanel de
.
Complemento sobre identidade multiplicativa (caso sua definição peça isso):
- Se na sua definição de subanel exige-se que o
de pertença ao subanel, então como cada é subanel contendo , temos para todo , logo . Assim também contém .