Seja \left\{B_{i}\right\}_{i \in \mathbb{N}} uma seqüência de subanéis de um anel A. Prove que, B=\bigcap_{i \in \mathbb{N}} B_{i} é também um subanel de A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado um anel A.
  • Para cada i\in\mathbb{N} existe um subanel B_{i} de A. Ou seja, cada B_i é um subconjunto de A que, segundo a definição de subanel que estamos assumindo, é fechado sob as operações relevantes (veremos a definição no passo seguinte).
  • Define-se B=\bigcap_{i\in\mathbb{N}} B_{i}, a interseção de todos os B_i.
O que devemos provar:
  • Mostrar que B também é um subanel de A. Ou seja, provar que B satisfaz as mesmas propriedades que cada B_i.

Passo 2

Antes de começar a provar, vamos recordar de forma bem didática o que significa “subanel” (vou usar a definição padrão mais usada em álgebra):
  • Um subconjunto S\subseteq A é um subanel de A se:
    1. S não é vazio (usualmente é garantido por conter 0, o elemento neutro aditivo de A);
    2. S é fechado sob subtração: para todo x,y\in S temos x-y\in S;
    3. S é fechado sob multiplicação: para todo x,y\in S temos xy\in S.
Observações úteis:
  • A condição de fechamento por subtração implica que S é um grupo aditivo (pois contém 0 e inversos aditivos): se x\in S então tomando y=x obtemos x-x=0\in S; e então 0-x=-x\in S. Vou usar exatamente essas implicações na prova.
  • Algumas pessoas definem subanel exigindo também que o elemento identidade 1 de A pertença ao subanel; outras não. Se cada B_i contém 1, então a interseção também contém 1. Vou mencionar isso no final.

Passo 3

Primeiro, mostro que B é não vazio.
  • Porque cada B_i é um subanel de A, sabemos que 0\in B_i para todo i (já que subanéis contêm o elemento neutro aditivo).
  • Logo 0 pertence à interseção de todos eles, isto é 0\in \bigcap_{i\in\mathbb{N}} B_i.
  • Portanto B não é vazio.
Comentário amigo: já temos um ponto de segurança — sempre tem o zero lá dentro — então não precisamos nos preocupar com interseção vazia.

Passo 4

Agora, mostro que B é fechado sob subtração.
  • Tome quaisquer x,y\in B. Por definição de interseção, isso significa que para todo i\in\mathbb{N} temos x\in B_i e y\in B_i.
  • Como cada B_i é subanel, cada B_i é fechado sob subtração; assim para cada i temos x-y\in B_i.
  • Se x-y\in B_i para todo i, então x-y pertence à interseção B.
  • Conclusão: para quaisquer x,y\in B temos x-y\in B. Logo B é fechado sob subtração.
Didática rápida: a ideia é simples e poderosa — ser comum a todos significa que qualquer propriedade que cada um tenha individualmente (fechamento sob uma operação) passa a valer para a interseção, porque você exige que o elemento esteja em todos.

Passo 5

A partir do fechamento por subtração e do fato de 0\in B, obtenho que B contém inversos aditivos (ou seja, para todo x\in B o elemento -x\in B).
  • De fato, para x\in B já temos 0\in B e, usando fechamento sob subtração, 0-x=-x\in B.
  • Assim B é um grupo aditivo (tem 0 e inversos) — o que é necessário para ser subanel.

Passo 6

Mostro que B é fechado sob multiplicação.
  • Tome quaisquer x,y\in B. Como antes, x e y pertencem a cada B_i.
  • Cada B_i é subanel, logo é fechado sob multiplicação; portanto para cada i temos xy\in B_i.
  • Assim xy pertence à interseção B.
  • Conclusão: para quaisquer x,y\in B, xy\in B. Logo B é fechado sob multiplicação.

Passo 7

Juntando as propriedades que verificamos:
  • B não é vazio (tem 0);
  • B é fechado sob subtração (logo é grupo aditivo);
  • B é fechado sob multiplicação.
Portanto B satisfaz as condições da definição de subanel que usamos. Isso prova que B é um subanel de A.
Complemento sobre identidade multiplicativa (caso sua definição peça isso):
  • Se na sua definição de subanel exige-se que o 1 de A pertença ao subanel, então como cada B_i é subanel contendo 1, temos 1\in B_i para todo i, logo 1\in \bigcap_{i} B_i = B. Assim B também contém 1.

Resposta

B=\bigcap_{i\in\mathbb{N}} B_{i} é um subanel de A.

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