Seja
uma seqüência de subcorpos de um corpo
. Prove que, se
então
é um subcorpo de
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de subcorpos
de um corpo
tal que
Define-se
A pergunta é: provar que
é um subcorpo de
.
Informações relevantes dadas:
- Para cada
, é subcorpo de . Isso significa que cada contém e , está fechado sob adição e multiplicação, contém o oposto (negativo) de cada elemento e o inverso multiplicativo de cada elemento não nulo. - A família
é crescente (cadeia ascendente): se então . - Queremos verificar que a união
pega todas essas propriedades e, portanto, é subcorpo de .
Passo 2
Lembrando a definição usada para decidir se um subconjunto
de um corpo
é subcorpo: basta verificar que
é não vazio, contém
(ou
e
) e é fechado sob as operações
,
, tomar o oposto e tomar o inverso multiplicativo (quando o elemento for não nulo). Vou usar essa versão prática da definição: mostrar que
contém
e
, e é fechado sob soma, produto, oposto e inverso multiplicativo (para elementos não nulos).
Primeiro,
é não vazio e contém
e
: como
é subcorpo,
e
. E
(porque
é união que inclui
), logo
.
Passo 3
Fechamento de
sob adição.
Tomemos
. Pela definição de união, existem índices
tais que
e
. Como a sequência é crescente, seja
. Então
e
, logo
.
Como
é subcorpo, ele é fechado sob adição, isto é,
. Assim
. Conclusão:
é fechado sob adição.
Observação didática: a ideia chave foi usar que, numa cadeia crescente, quaisquer dois elementos pertencem a um mesmo membro da cadeia (o “maior” índice), e aí usar o fechamento desse membro.
Passo 4
Fechamento de
sob oposto (negativo).
Tomemos
. Então existe
tal que
. Como
é subcorpo,
. Portanto
. Logo
contém o oposto de cada elemento.
Comentário didático: para provar que algo é subcorpo às vezes é conveniente mostrar fechamento sob adição e existência de oposto (em vez de mostrar fechamento sob subtração separadamente); aqui mostramos o oposto explicitamente.
Passo 5
Fechamento de
sob multiplicação.
Tomemos
. Como no Passo 3, existem
com
,
; tomando
obtemos
. Como
é subcorpo,
. Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação.
Passo 6
Fechamento de
sob inverso multiplicativo (para elementos não nulos).
Tomemos
com
. Então existe
com
. Como
é subcorpo e
, o inverso multiplicativo
pertence a
. Assim
. Portanto todo elemento não nulo de
tem inverso em
.
Passo 7
Conclusão:
contém
e
(Passo 2) e é fechado sob soma (Passo 3), opostos (Passo 4), produto (Passo 5) e inversos multiplicativos de elementos não nulos (Passo 6). Essas propriedades são exatamente as necessárias para
ser um subcorpo de
. Portanto
é subcorpo de
.
Pequena motivação extra: intuitivamente, a união de uma cadeia crescente de subcorpos não “perde” fechamento porque qualquer combinação finita de elementos da união já vive dentro de algum membro suficientemente grande da cadeia, onde as operações são permitidas.