Seja \left\{K_{i}\right\}_{i \in \mathbb{N}} uma seqüência de subcorpos de um corpo K. Prove que, se K_{0} \subset K_{1} \subset \ldots \subset K_{n} \subset \ldots então B=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} K_{i} é um subcorpo de K.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de subcorpos \{K_{i}\}_{i\in\mathbb{N}} de um corpo K tal que
K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{n}\subset\cdots.
Define-se
B=\bigcup_{i\in\mathbb{N}} K_{i}.
A pergunta é: provar que B é um subcorpo de K.
Informações relevantes dadas:
  • Para cada i, K_{i} é subcorpo de K. Isso significa que cada K_{i} contém 0 e 1, está fechado sob adição e multiplicação, contém o oposto (negativo) de cada elemento e o inverso multiplicativo de cada elemento não nulo.
  • A família \{K_i\} é crescente (cadeia ascendente): se i\le j então K_i\subset K_j.
  • Queremos verificar que a união B pega todas essas propriedades e, portanto, é subcorpo de K.

Passo 2

Lembrando a definição usada para decidir se um subconjunto F de um corpo K é subcorpo: basta verificar que F é não vazio, contém 1 (ou 0 e 1) e é fechado sob as operações +, \cdot, tomar o oposto e tomar o inverso multiplicativo (quando o elemento for não nulo). Vou usar essa versão prática da definição: mostrar que B contém 0 e 1, e é fechado sob soma, produto, oposto e inverso multiplicativo (para elementos não nulos).
Primeiro, B é não vazio e contém 0 e 1: como K_{0} é subcorpo, 0\in K_{0} e 1\in K_{0}. E K_{0}\subset B (porque B é união que inclui K_0), logo 0,1\in B.

Passo 3

Fechamento de B sob adição.
Tomemos x,y\in B. Pela definição de união, existem índices i,j\in\mathbb{N} tais que x\in K_{i} e y\in K_{j}. Como a sequência é crescente, seja m=\max\{i,j\}. Então K_i\subset K_m e K_j\subset K_m, logo x,y\in K_m.
Como K_m é subcorpo, ele é fechado sob adição, isto é, x+y\in K_m. Assim x+y\in K_m\subset B. Conclusão: B é fechado sob adição.
Observação didática: a ideia chave foi usar que, numa cadeia crescente, quaisquer dois elementos pertencem a um mesmo membro da cadeia (o “maior” índice), e aí usar o fechamento desse membro.

Passo 4

Fechamento de B sob oposto (negativo).
Tomemos x\in B. Então existe i tal que x\in K_i. Como K_i é subcorpo, -x\in K_i. Portanto -x\in K_i\subset B. Logo B contém o oposto de cada elemento.
Comentário didático: para provar que algo é subcorpo às vezes é conveniente mostrar fechamento sob adição e existência de oposto (em vez de mostrar fechamento sob subtração separadamente); aqui mostramos o oposto explicitamente.

Passo 5

Fechamento de B sob multiplicação.
Tomemos x,y\in B. Como no Passo 3, existem i,j com x\in K_i, y\in K_j; tomando m=\max\{i,j\} obtemos x,y\in K_m. Como K_m é subcorpo, x\cdot y\in K_m. Logo x\cdot y\in B. Assim B é fechado sob multiplicação.

Passo 6

Fechamento de B sob inverso multiplicativo (para elementos não nulos).
Tomemos x\in B com x\neq 0. Então existe i com x\in K_i. Como K_i é subcorpo e x\neq 0, o inverso multiplicativo x^{-1} pertence a K_i. Assim x^{-1}\in K_i\subset B. Portanto todo elemento não nulo de B tem inverso em B.

Passo 7

Conclusão: B contém 0 e 1 (Passo 2) e é fechado sob soma (Passo 3), opostos (Passo 4), produto (Passo 5) e inversos multiplicativos de elementos não nulos (Passo 6). Essas propriedades são exatamente as necessárias para B ser um subcorpo de K. Portanto B é subcorpo de K.
Pequena motivação extra: intuitivamente, a união de uma cadeia crescente de subcorpos não “perde” fechamento porque qualquer combinação finita de elementos da união já vive dentro de algum membro suficientemente grande da cadeia, onde as operações são permitidas.

Resposta

B=\bigcup_{i\in\mathbb{N}} K_{i} é subcorpo de K.

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