Seja \left\{B_{i}\right\}_{i \in \mathbb{N}} uma seqüência de subanéis de um anel A. Prove que, se B_{0} \subset B_{1} \subset \ldots \subset B_{n} \subset \ldots então B=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_{i} é também um subanel de A.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência crescente de subanéis de um anel A:
\{B_i\}_{i\in\mathbb{N}}\quad\text{com}\quad B_0\subset B_1\subset\ldots\subset B_n\subset\ldots
Pede-se para provar que a união
B=\bigcup_{i\in\mathbb{N}} B_i
é também um subanel de A.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para cada i\in\mathbb{N}, B_i é subanel de A.
  • A sequência é crescente: se i\le j então B_i\subset B_j.
  • Queremos provar que a união B é subanel de A.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada passo a passo): um subconjunto S\subset A é subanel de A quando satisfaz pelo menos as seguintes propriedades:
  1. S é não vazio (ou equivalentemente contém o elemento neutro aditivo 0 de A).
  2. S é fechado sob subtração: se x,y\in S então x-y\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação: se x,y\in S então xy\in S.
Comentário didático: escolhemos estas condições porque a estrutura de anel exige identidade aditiva, inverso aditivo e fechamento em soma e produto; a condição de fechamento sob subtração já garante soma (pois x+y = x-(-y)) e inverso aditivo (pois -x = 0-x), então é uma forma curta e prática de verificar que um subconjunto é subanel.

Passo 3

Verificar que B é não vazio (contém 0).
Como cada B_i é subanel de A, cada B_i contém o elemento neutro aditivo 0 de A. Em particular, 0\in B_0. Logo 0\in B_0\subset B. Portanto B é não vazio e contém 0.

Passo 4

Mostrar fechamento de B sob subtração.
Sejam x,y\in B. Então, por definição de união, existem índices i,j\in\mathbb{N} tais que x\in B_i e y\in B_j.
Defina k=\max\{i,j\}. Como a sequência é crescente, temos B_i\subset B_k e B_j\subset B_k. Portanto x,y\in B_k.
Como B_k é subanel, ele é fechado sob subtração; então x-y\in B_k. Como B_k\subset B, segue que x-y\in B.
Assim B é fechado sob subtração.

Passo 5

Mostrar fechamento de B sob multiplicação.
Usando exatamente o mesmo argumento do passo anterior: para x,y\in B existe k=\max\{i,j\} tal que x,y\in B_k. Como B_k é subanel, xy\in B_k. Portanto xy\in B.
Logo B é fechado sob multiplicação.

Passo 6

Concluir que B é subanel de A.
Reunindo os resultados: B é não vazio (contém 0), está fechado sob subtração e está fechado sob multiplicação. Pelas condições dadas na definição usada, isso basta para afirmar que B é um subanel de A.
Observação pedagógica: a propriedade crucial que usamos foi que a família \{B_i\} é crescente, garantindo que quaisquer dois elementos da união pertencem a um mesmo B_k onde valem as propriedades de subanel. Se não houvesse esta ordem (isto é, se os B_i não fossem embutidos uns nos outros), o argumento falharia.

Resposta

B=\bigcup_{i\in\mathbb{N}} B_i é um subanel de A.

Exercícios relacionados