Seja
uma seqüência de subanéis de um anel
. Prove que, se
então
é também um subanel de
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência crescente de subanéis de um anel
:
Pede-se para provar que a união
é também um subanel de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Para cada
, é subanel de . - A sequência é crescente: se
então . - Queremos provar que a união
é subanel de .
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada passo a passo): um subconjunto
é subanel de
quando satisfaz pelo menos as seguintes propriedades:
-
é não vazio (ou equivalentemente contém o elemento neutro aditivo de ). -
é fechado sob subtração: se então . -
é fechado sob multiplicação: se então .
Comentário didático: escolhemos estas condições porque a estrutura de anel exige identidade aditiva, inverso aditivo e fechamento em soma e produto; a condição de fechamento sob subtração já garante soma (pois
) e inverso aditivo (pois
), então é uma forma curta e prática de verificar que um subconjunto é subanel.
Passo 3
Verificar que
é não vazio (contém
).
Como cada é subanel de
, cada
contém o elemento neutro aditivo
de
. Em particular,
. Logo
. Portanto
é não vazio e contém
.
Como cada
Passo 4
Mostrar fechamento de
sob subtração.
Sejam . Então, por definição de união, existem índices
tais que
e
.
Defina . Como a sequência é crescente, temos
e
. Portanto
.
Como é subanel, ele é fechado sob subtração; então
. Como
, segue que
.
Assim é fechado sob subtração.
Sejam
Defina
Como
Assim
Passo 5
Mostrar fechamento de
sob multiplicação.
Usando exatamente o mesmo argumento do passo anterior: para existe
tal que
. Como
é subanel,
. Portanto
.
Logo é fechado sob multiplicação.
Usando exatamente o mesmo argumento do passo anterior: para
Logo
Passo 6
Concluir que
é subanel de
.
Reunindo os resultados: é não vazio (contém
), está fechado sob subtração e está fechado sob multiplicação. Pelas condições dadas na definição usada, isso basta para afirmar que
é um subanel de
.
Observação pedagógica: a propriedade crucial que usamos foi que a família é crescente, garantindo que quaisquer dois elementos da união pertencem a um mesmo
onde valem as propriedades de subanel. Se não houvesse esta ordem (isto é, se os
não fossem embutidos uns nos outros), o argumento falharia.
Reunindo os resultados:
Observação pedagógica: a propriedade crucial que usamos foi que a família