Mostre que ( \mathbb{Z}_{p}^{*}, \cdot ) é um grupo se, e somente se, p é primo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se para provar a bicondicional: (\mathbb{Z}_{p}^{*}, \cdot) é um grupo se, e somente se, p é primo.
  • Aqui vamos entender \mathbb{Z}_{p} como o conjunto das classes de congruência módulo p, e \mathbb{Z}_{p}^{*} como o subconjunto formado pelas classes [1],[2],\dots,[p-1] (ou seja, todas as classes diferentes de [0]); a operação \cdot é a multiplicação módulo p.
  • A tarefa é mostrar as duas implicações:
    1. Se p é primo, então (\mathbb{Z}_{p}^{*},\cdot) é um grupo.
    2. Se (\mathbb{Z}_{p}^{*},\cdot) é um grupo, então p é primo.

Passo 2

O que significa ser um grupo (lembrete prático e o que vamos checar):
  • Um conjunto G com uma operação binária \ast é grupo se satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento identidade e existência de inversos para todos os elementos.
  • Vou verificar cada propriedade para \mathbb{Z}_p^{*} quando p for primo; e, para a implicação inversa, vou mostrar que se p não é primo alguma dessas propriedades falha (normalmente fechamento ou inversos).
  • Antes de prosseguir: a associatividade da multiplicação modular vem da associatividade da multiplicação inteira (isto é, multiplicar inteiros e depois reduzir módulo p preserva associatividade). Não é preciso refazer essa prova aqui; apenas usá-la.

Passo 3

Prova da implicação “se p é primo, então (\mathbb{Z}_{p}^{*},\cdot) é um grupo” — verificação das propriedades uma a uma.
  • Fechamento:
    • Tome quaisquer [a],[b]\in\mathbb{Z}_p^{*}. Isso significa 1\le a,b\le p-1.
    • O produto na estrutura é [a]\cdot[b]=[ab] (classe de ab módulo p).
    • Se [ab]=[0] então p divide ab. Como p é primo, a propriedade básica de primos diz: se p\mid ab então p\mid a ou p\mid b.
    • Mas 1\le a,b\le p-1 impede p\mid a ou p\mid b. Logo p\nmid ab, portanto [ab]\neq[0] e então [ab]\in\mathbb{Z}_p^{*}.
    • Conclusão: a multiplicação fecha dentro de \mathbb{Z}_p^{*}.
  • Associatividade:
    • A multiplicação em \mathbb{Z}_p^{*} é a multiplicação inteira seguida de redução módulo p. A multiplicação inteira é associativa, e reduzir módulo p depois preserva essa propriedade; portanto a operação é associativa em \mathbb{Z}_p^{*}.
  • Elemento identidade:
    • A classe [1] satisfaz [1]\cdot[a]=[a]\cdot[1]=[a] para todo [a], logo [1] é identidade.
  • Existência de inversos:
    • Tome [a]\in\mathbb{Z}_p^{*}. Como 1\le a\le p-1 e p é primo, tem-se \gcd(a,p)=1.
    • Pelo Teorema de Bézout, existem inteiros x,y tais que ax+py=1. Passando essa igualdade módulo p obtemos ax\equiv1\pmod p.
    • Isso significa que a classe [x] é inversa de [a]: [a]\cdot[x]=[1].
    • Portanto todo elemento de \mathbb{Z}_p^{*} tem inverso.
  • Como as quatro propriedades valem, concluímos que, se p é primo, (\mathbb{Z}_p^{*},\cdot) é um grupo.

Passo 4

Prova da implicação “se (\mathbb{Z}_{p}^{*},\cdot) é um grupo, então p é primo” — prova por contrapartida direta (ou contrapositiva).
  • Argumento por contrapositiva mais simples: mostraremos que, se p não é primo (ou seja, p é composto), então (\mathbb{Z}_p^{*},\cdot) não é grupo.
  • Suponha que p é composto. Então existem inteiros m,n tais que 1<m<p, 1<n<p e p=mn.
  • Considere as classes [m] e [n]. Elas pertencem a \mathbb{Z}_p^{*} porque são diferentes de [0] (já que 1<m<p e 1<n<p).
  • Calcule o produto [m]\cdot[n]=[mn]=[p]=[0].
  • O resultado [0] não pertence a \mathbb{Z}_p^{*} (pois \mathbb{Z}_p^{*} contém apenas as classes não nulas).
  • Assim a multiplicação de dois elementos de \mathbb{Z}_p^{*} produz um elemento fora de \mathbb{Z}_p^{*}: a propriedade de fechamento falha.
  • Logo, quando p é composto, (\mathbb{Z}_p^{*},\cdot) não é um grupo.
  • Assim, se (\mathbb{Z}_p^{*},\cdot) fosse grupo, não poderia ocorrer esse caso; portanto p deve ser primo.

Passo 5

Resumo e interpretação final (motivação para a prova que se usa em provas e em exercícios de prova):
  • Para p primo: todo elemento não nulo tem inverso porque é coprimo com p; fechamento, identidade e associatividade ficam garantidos, então obtemos um grupo (o grupo multiplicativo dos restos módulo p).
  • Para p composto: existem fatores próprios de p entre 1 e p-1 cuja multiplicação dá zero módulo p; isso quebra o fechamento (e também mostra que existem divisores de zero sem inverso), logo não é grupo.
  • Portanto a bicondicional está provada.

Resposta

(\mathbb{Z}_{p}^{*}, \cdot) é um grupo se, e somente se, p é primo.

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