Mostre que (
) é um grupo se, e somente se,
é primo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se para provar a bicondicional:
é um grupo se, e somente se, é primo. - Aqui vamos entender
como o conjunto das classes de congruência módulo , e como o subconjunto formado pelas classes (ou seja, todas as classes diferentes de ); a operação é a multiplicação módulo . - A tarefa é mostrar as duas implicações:
- Se
é primo, então é um grupo. - Se
é um grupo, então é primo.
- Se
Passo 2
O que significa ser um grupo (lembrete prático e o que vamos checar):
- Um conjunto
com uma operação binária é grupo se satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento identidade e existência de inversos para todos os elementos. - Vou verificar cada propriedade para
quando for primo; e, para a implicação inversa, vou mostrar que se não é primo alguma dessas propriedades falha (normalmente fechamento ou inversos). - Antes de prosseguir: a associatividade da multiplicação modular vem da associatividade da multiplicação inteira (isto é, multiplicar inteiros e depois reduzir módulo
preserva associatividade). Não é preciso refazer essa prova aqui; apenas usá-la.
Passo 3
Prova da implicação “se
é primo, então
é um grupo” — verificação das propriedades uma a uma.
-
Fechamento:
- Tome quaisquer
. Isso significa . - O produto na estrutura é
(classe de módulo ). - Se
então divide . Como é primo, a propriedade básica de primos diz: se então ou . - Mas
impede ou . Logo , portanto e então . - Conclusão: a multiplicação fecha dentro de
.
- Tome quaisquer
-
Associatividade:
- A multiplicação em
é a multiplicação inteira seguida de redução módulo . A multiplicação inteira é associativa, e reduzir módulo depois preserva essa propriedade; portanto a operação é associativa em .
- A multiplicação em
-
Elemento identidade:
- A classe
satisfaz para todo , logo é identidade.
- A classe
-
Existência de inversos:
- Tome
. Como e é primo, tem-se . - Pelo Teorema de Bézout, existem inteiros
tais que . Passando essa igualdade módulo obtemos . - Isso significa que a classe
é inversa de : . - Portanto todo elemento de
tem inverso.
- Tome
-
Como as quatro propriedades valem, concluímos que, se
é primo, é um grupo.
Passo 4
Prova da implicação “se
é um grupo, então
é primo” — prova por contrapartida direta (ou contrapositiva).
- Argumento por contrapositiva mais simples: mostraremos que, se
não é primo (ou seja, é composto), então não é grupo. - Suponha que
é composto. Então existem inteiros tais que , e . - Considere as classes
e . Elas pertencem a porque são diferentes de (já que e ). - Calcule o produto
. - O resultado
não pertence a (pois contém apenas as classes não nulas). - Assim a multiplicação de dois elementos de
produz um elemento fora de : a propriedade de fechamento falha. - Logo, quando
é composto, não é um grupo. - Assim, se
fosse grupo, não poderia ocorrer esse caso; portanto deve ser primo.
Passo 5
Resumo e interpretação final (motivação para a prova que se usa em provas e em exercícios de prova):
- Para
primo: todo elemento não nulo tem inverso porque é coprimo com ; fechamento, identidade e associatividade ficam garantidos, então obtemos um grupo (o grupo multiplicativo dos restos módulo ). - Para
composto: existem fatores próprios de entre e cuja multiplicação dá zero módulo ; isso quebra o fechamento (e também mostra que existem divisores de zero sem inverso), logo não é grupo. - Portanto a bicondicional está provada.