Mostre que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t};

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a transformada inversa de Laplace de \dfrac{1}{s-a} é e^{a t}.
Informações dadas: a função no domínio de s é F(s)=\dfrac{1}{s-a}. Não foi dito explicitamente, então assumimos a hipótese usual de convergência: \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

Passo 2

Definição útil: a transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge 0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
quando a integral converge. A transformada inversa é a operação que leva F(s) de volta a f(t); uma forma prática de identificar \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} é encontrar uma função f(t) cuja transformada seja exatamente F(s). Se \mathcal{L}\{f\}=F e a transformada é única na classe considerada, então \mathcal{L}^{-1}\{F\}=f.

Passo 3

Cálculo direto da transformada de Laplace da função candidata f(t)=e^{a t}. Vamos calcular
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Aqui a integranda é uma exponencial simples. Para que essa integral imprima um valor finito é preciso que a parte real do expoente seja negativa quando t\to\infty, ou seja, exigir \operatorname{Re}(s-a)>0 (equivalente a \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)).

Passo 4

Avaliação da integral exponencial. A primitiva de e^{-(s-a)t} em t é -\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}. Então
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\left[-\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right]_{0}^{\infty}.
Para \operatorname{Re}(s-a)>0 temos e^{-(s-a)t}\to 0 quando t\to\infty. Avaliando os limites:
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=0 -\left(-\dfrac{1}{s-a}\right)=\dfrac{1}{s-a}.

Passo 5

Conclusão pela unicidade da transformada de Laplace: como a transformada de Laplace de e^{a t} é exatamente \dfrac{1}{s-a} (quando \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)), a transformada inversa satisfaz
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}.
(se preferir uma justificativa alternativa: a fórmula de inversão de Bromwich dá o mesmo resultado calculando o resíduo em s=a, mas o cálculo direto acima é mais elementar e suficiente para a prova).

Resposta

\displaystyle e^{a t}

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