Mostre que
;
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a transformada inversa de Laplace de
é
.
Informações dadas: a função no domínio de é
. Não foi dito explicitamente, então assumimos a hipótese usual de convergência:
.
Informações dadas: a função no domínio de
Passo 2
Definição útil: a transformada de Laplace de uma função
(para
) é
quando a integral converge. A transformada inversa é a operação que leva
de volta a
; uma forma prática de identificar
é encontrar uma função
cuja transformada seja exatamente
. Se
e a transformada é única na classe considerada, então
.
Passo 3
Cálculo direto da transformada de Laplace da função candidata
. Vamos calcular
Aqui a integranda é uma exponencial simples. Para que essa integral imprima um valor finito é preciso que a parte real do expoente seja negativa quando
, ou seja, exigir
(equivalente a
).
Passo 4
Avaliação da integral exponencial. A primitiva de
em
é
. Então
Para
temos
quando
. Avaliando os limites:
Passo 5
Conclusão pela unicidade da transformada de Laplace: como a transformada de Laplace de
é exatamente
(quando
), a transformada inversa satisfaz
(se preferir uma justificativa alternativa: a fórmula de inversão de Bromwich dá o mesmo resultado calculando o resíduo em
, mas o cálculo direto acima é mais elementar e suficiente para a prova).