Mostre que:
\mathrm{ER}_{x-y}=\left(\frac{\bar{x}}{\bar{x}-\bar{y}}\right) \mathrm{ER}_{x}-\left(\frac{\bar{y}}{\bar{x}-\bar{y}}\right) \mathrm{ER}_{y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma relação entre as elasticidades-renda de x, de y e de x-y. O conteúdo é o conceito de elasticidade-renda, que se define como
\mathrm{ER}_{v} =\frac{d\,v/dm}{v/m} =\frac{dv}{dm}\,\frac{m}{v}
onde m é a renda e v pode ser x, y ou x-y.

Passo 2

Escrevendo a elasticidade de x e de y em ponto médio (ou avaliado em \bar x,\bar y,\bar m), temos
\mathrm{ER}_{x} =\frac{dx}{dm}\,\frac{m}{x} \quad\text{e}\quad \mathrm{ER}_{y} =\frac{dy}{dm}\,\frac{m}{y}.

Passo 3

Agora calculamos a elasticidade de x-y:
\mathrm{ER}_{x-y} =\frac{d(x-y)}{dm}\,\frac{m}{x-y} =\Bigl(\frac{dx}{dm}-\frac{dy}{dm}\Bigr)\frac{m}{x-y}.

Passo 4

Separando os termos e usando as definições de \mathrm{ER}_{x} e \mathrm{ER}_{y}:
\mathrm{ER}_{x-y} =\frac{dx}{dm}\,\frac{m}{x-y} -\frac{dy}{dm}\,\frac{m}{x-y} =\mathrm{ER}_{x}\,\frac{x}{x-y} -\mathrm{ER}_{y}\,\frac{y}{x-y}.

Resposta

\mathrm{ER}_{x-y} =\left(\frac{\bar x}{\bar x-\bar y}\right)\mathrm{ER}_{x} -\left(\frac{\bar y}{\bar x-\bar y}\right)\mathrm{ER}_{y}.

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