Mostre que:
\mathrm{ER}_{x+y}=\left(\frac{\bar{x}}{\bar{x}+\bar{y}}\right) \mathrm{ER}_{x}+\left(\frac{\bar{y}}{\bar{x}+\bar{y}}\right) \mathrm{ER}_{y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um consumidor com renda M que consome as quantidades \bar x e \bar y dos bens x e y, a elasticidade-renda da despesa total x+y é a média ponderada das elasticidades-renda individuais. Para isso precisamos usar a definição de elasticidade-renda e a regra da derivada para soma de funções.

Passo 2

Definimos a elasticidade-renda de x por
\mathrm{ER}_{x} = \frac{\partial x}{\partial M}\,\frac{M}{x},
e, de modo análogo,
\mathrm{ER}_{y} = \frac{\partial y}{\partial M}\,\frac{M}{y}.

Passo 3

Seja w = x + y. Então
\frac{\partial w}{\partial M} = \frac{\partial (x+y)}{\partial M} = \frac{\partial x}{\partial M} + \frac{\partial y}{\partial M}.
Logo a elasticidade-renda de w é
\mathrm{ER}_{x+y} = \frac{\partial w}{\partial M}\,\frac{M}{w} = \Bigl(\frac{\partial x}{\partial M} + \frac{\partial y}{\partial M}\Bigr)\,\frac{M}{x+y}.

Passo 4

Reescrevendo
\frac{\partial x}{\partial M}\,M = x\,\mathrm{ER}_{x}, \qquad \frac{\partial y}{\partial M}\,M = y\,\mathrm{ER}_{y},
temos
\mathrm{ER}_{x+y} = \frac{x\,\mathrm{ER}_{x} + y\,\mathrm{ER}_{y}}{x+y} = \frac{x}{x+y}\,\mathrm{ER}_{x} + \frac{y}{x+y}\,\mathrm{ER}_{y}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{ER}_{x+y} = \frac{\bar{x}}{\bar{x}+\bar{y}}\,\mathrm{ER}_{x} + \frac{\bar{y}}{\bar{x}+\bar{y}}\,\mathrm{ER}_{y}.

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