Mostre que
é solução particular da equação de Riccati:
e calcule sua solução.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que
é uma solução particular da equação de Riccati
e (2) calcular a solução geral da equação.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A equação diferencial é
- Foi sugerida a solução particular
Passo 2
Verificar que
satisfaz a equação (ou seja, é solução particular).
Calcular a derivada de
:
Substituir
no lado direito da equação:
Calcular termo a termo:
Somando:
Portanto o lado direito avaliado em
é
, que coincide com
. Concluímos que
é de fato uma solução particular.
Passo 3
Explicar o método para encontrar a solução geral quando se conhece uma solução particular de uma equação de Riccati.
A equação geral de Riccati pode ser escrita como
onde
são funções de
. Se conhecemos uma solução particular
, fazemos a substituição
A ideia é que essa mudança transforma a equação não-linear em uma equação linear de primeira ordem para
. Vou demonstrar essa redução de forma direta:
Calcular
Substituindo na Riccati e usando que
satisfaz a equação (ou seja,
), ao simplificar obtemos uma equação para
da forma
que é linear em
. Depois de resolver essa linear para
, recupera-se
por
.
Passo 4
Aplicar o método ao nosso caso específico.
Comparando com a forma geral, identificamos:
e a solução particular
.
Pela fórmula do passo anterior, a equação para
é
Calcular o coeficiente:
E
. Assim a equação para
fica muito simples:
Passo 5
Resolver a equação linear para
:
Método do fator integrante: o fator integrante é
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados:
onde
é constante arbitrária. Portanto
Passo 6
Voltar à variável
usando
com
.
Temos
Essa expressão dá a família geral de soluções, válida enquanto
(isto é, enquanto
). Pode-se também reescrever a fração de formas equivalentes se desejar, mas esta forma já é clara e compacta.
Resposta
onde
é uma constante arbitrária (e
nos pontos onde a solução é definida).