Mostre que y_{0}=-\mathrm{e}^{\mathrm{x}} é solução particular da equação de Riccati:
\frac{d y}{d x}=e^{2 x}+\left(1+2 e^{x}\right) y+y^{2}
e calcule sua solução.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que \,y_{0}=-\mathrm{e}^{x}\, é uma solução particular da equação de Riccati
\frac{d y}{d x}= \mathrm{e}^{2x}+\left(1+2\mathrm{e}^{x}\right) y+y^{2},
e (2) calcular a solução geral da equação.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação diferencial é \displaystyle \frac{dy}{dx}=\mathrm{e}^{2x}+\left(1+2\mathrm{e}^{x}\right)y+y^{2}.
  • Foi sugerida a solução particular \displaystyle y_{0}=-\mathrm{e}^{x}.

Passo 2

Verificar que \,y_{0}=-\mathrm{e}^{x}\, satisfaz a equação (ou seja, é solução particular).
Calcular a derivada de \,y_{0}:
\frac{d y_{0}}{d x}=\frac{d}{d x}\bigl(-\mathrm{e}^{x}\bigr)=-\mathrm{e}^{x}.
Substituir y=y_{0}=-\mathrm{e}^{x} no lado direito da equação:
\mathrm{e}^{2x}+\bigl(1+2\mathrm{e}^{x}\bigr)(-\mathrm{e}^{x})+(-\mathrm{e}^{x})^{2}.
Calcular termo a termo:
\bigl(1+2\mathrm{e}^{x}\bigr)(-\mathrm{e}^{x})=-\mathrm{e}^{x}-2\mathrm{e}^{2x}, \qquad (-\mathrm{e}^{x})^{2}=\mathrm{e}^{2x}.
Somando:
\mathrm{e}^{2x}+\bigl(-\mathrm{e}^{x}-2\mathrm{e}^{2x}\bigr)+\mathrm{e}^{2x} = -\mathrm{e}^{x}.
Portanto o lado direito avaliado em y_{0} é -\mathrm{e}^{x}, que coincide com \dfrac{dy_{0}}{dx}. Concluímos que \,y_{0}=-\mathrm{e}^{x}\, é de fato uma solução particular.

Passo 3

Explicar o método para encontrar a solução geral quando se conhece uma solução particular de uma equação de Riccati.
A equação geral de Riccati pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2},
onde q_{0},q_{1},q_{2} são funções de x. Se conhecemos uma solução particular y_{p}(x), fazemos a substituição
y(x)=y_{p}(x)+\frac{1}{u(x)}.
A ideia é que essa mudança transforma a equação não-linear em uma equação linear de primeira ordem para u(x). Vou demonstrar essa redução de forma direta:
Calcular \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy_{p}}{dx}-\dfrac{1}{u^{2}}\dfrac{du}{dx}. Substituindo na Riccati e usando que y_{p} satisfaz a equação (ou seja, \dfrac{dy_{p}}{dx}=q_{0}+q_{1}y_{p}+q_{2}y_{p}^{2}), ao simplificar obtemos uma equação para u da forma
\frac{du}{dx} +\bigl(q_{1}(x)+2q_{2}(x)y_{p}(x)\bigr)u + q_{2}(x)=0,
que é linear em u. Depois de resolver essa linear para u, recupera-se y por y=y_{p}+1/u.

Passo 4

Aplicar o método ao nosso caso específico.
Comparando com a forma geral, identificamos:
q_{0}(x)=\mathrm{e}^{2x},\qquad q_{1}(x)=1+2\mathrm{e}^{x},\qquad q_{2}(x)=1,
e a solução particular y_{p}=y_{0}=-\mathrm{e}^{x}.
Pela fórmula do passo anterior, a equação para u é
\frac{du}{dx}+\bigl(q_{1}+2q_{2}y_{p}\bigr)u+q_{2}=0.
Calcular o coeficiente:
q_{1}+2q_{2}y_{p}=(1+2\mathrm{e}^{x})+2\cdot1\cdot(-\mathrm{e}^{x})=1.
E q_{2}=1. Assim a equação para u fica muito simples:
\frac{du}{dx}+u+1=0.

Passo 5

Resolver a equação linear para u:
\frac{du}{dx}+u=-1.
Método do fator integrante: o fator integrante é \mathrm{e}^{\int 1\,dx}=\mathrm{e}^{x}. Multiplicando a equação por \mathrm{e}^{x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{e}^{x}u\bigr)=-\mathrm{e}^{x}.
Integrando ambos os lados:
\mathrm{e}^{x}u = -\mathrm{e}^{x} + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
u(x)= -1 + C\,\mathrm{e}^{-x}.

Passo 6

Voltar à variável y usando y=y_{p}+1/u com y_{p}=-\mathrm{e}^{x}.
Temos
y(x)=-\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{u(x)} =-\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{C\,\mathrm{e}^{-x}-1}.
Essa expressão dá a família geral de soluções, válida enquanto u(x)\neq 0 (isto é, enquanto C\,\mathrm{e}^{-x}\neq 1). Pode-se também reescrever a fração de formas equivalentes se desejar, mas esta forma já é clara e compacta.

Resposta

y(x)=-\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{C\,\mathrm{e}^{-x}-1},
onde C é uma constante arbitrária (e C\,\mathrm{e}^{-x}\neq 1 nos pontos onde a solução é definida).

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