(Estimativa do resto integral) Seja f(x, y)=e^{x} \cos y. Use a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral para estimar o erro ao aproximar f(0.2,0.3) por sua linearização em torno de ( 0,0 ). Em seguida, use cotas superiores para as derivadas segundas para obter uma estimativa numérica do erro máximo do resto integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Aproximar \,f(0,2,0,3)\, pela linearização de f em torno de (0,0) e escrever a forma do erro (resto) usando a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral.
Usar cotas superiores para as derivadas segundas e obter uma estimativa numérica do erro máximo (ou seja, um valor numérico que limite |\text{resto}|).
Informações dadas:
A função é \,f(x,y)=e^{x}\cos y\,.
Ponto onde se aproxima: (x,y)=(0,2,0,3).
Centro da linearização: (0,0).
Não se faz nenhum outro pressuposto.
Passo 2
Primeiro calculemos a linearização de primeira ordem de f em (0,0). Para isso precisamos das derivadas parciais primeiras em (0,0).
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x}\cos y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y.
Portanto a aproximação pedida é \,L(0,2,0,3)=1+0,2=1,2\,.
Passo 3
Agora escrevemos a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral para funções de várias variáveis. Seja a=(0,0) e h=(h_{1},h_{2}) com h=(x-a_x,y-a_y). A fórmula é
f(a+h)=f(a)+Df(a)\cdot h + \int_{0}^{1}(1-t)\,h^{T}D^{2}f(a+t h)\,h\,dt.
Explicando os termos:
Df(a) é o gradiente de f em a, e Df(a)\cdot h é o produto escalar (a parte linear).
D^{2}f é a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas).
O resto integral é \displaystyle R(h)=\int_{0}^{1}(1-t)\,h^{T}D^{2}f(a+t h)\,h\,dt.
Nesse problema a=(0,0) e queremos h=(0,2,0,3).
Passo 4
Calculemos a Hessiana D^{2}f(x,y). Já temos as primeiras derivadas; derivando novamente obtemos:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=e^{x}\cos y, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=-e^{x}\cos y.
Assim a Hessiana é
D^{2}f(x,y)=e^{x} \begin{pmatrix} \cos y & -\sin y\\[4pt] -\sin y & -\cos y \end{pmatrix}.]
Passo 5
Escrevemos o resto específico para h=(0,2,0,3). Usando a fórmula do passo 3:
R(h)=\int_{0}^{1}(1-t)\,h^{T}D^{2}f( t h)\,h\,dt.
Aqui t h=(t\cdot 0,2,t\cdot 0,3)=(0,2 t,0,3 t). Vamos expandir a forma quadrática h^{T}D^{2}f( t h)\,h. Com h_{1}=0,2 e h_{2}=0,3 temos, para cada t,