(Estimativa do resto integral) Seja f(x, y)=e^{x} \cos y. Use a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral para estimar o erro ao aproximar f(0.2,0.3) por sua linearização em torno de ( 0,0 ). Em seguida, use cotas superiores para as derivadas segundas para obter uma estimativa numérica do erro máximo do resto integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Aproximar \,f(0,2,0,3)\, pela linearização de f em torno de (0,0) e escrever a forma do erro (resto) usando a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral.
  • Usar cotas superiores para as derivadas segundas e obter uma estimativa numérica do erro máximo (ou seja, um valor numérico que limite |\text{resto}|).
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=e^{x}\cos y\,.
  • Ponto onde se aproxima: (x,y)=(0,2,0,3).
  • Centro da linearização: (0,0).
    Não se faz nenhum outro pressuposto.

Passo 2

Primeiro calculemos a linearização de primeira ordem de f em (0,0). Para isso precisamos das derivadas parciais primeiras em (0,0).
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x}\cos y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y.
Avaliar em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=e^{0}\cos 0=1\cdot 1=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-e^{0}\sin 0=-1\cdot 0=0.
A linearização (polinómio de Taylor de ordem 1) em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y.
Como f(0,0)=e^{0}\cos 0=1, obtemos
L(x,y)=1 + x.
Portanto a aproximação pedida é \,L(0,2,0,3)=1+0,2=1,2\,.

Passo 3

Agora escrevemos a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral para funções de várias variáveis. Seja a=(0,0) e h=(h_{1},h_{2}) com h=(x-a_x,y-a_y). A fórmula é
f(a+h)=f(a)+Df(a)\cdot h + \int_{0}^{1}(1-t)\,h^{T}D^{2}f(a+t h)\,h\,dt.
Explicando os termos:
  • Df(a) é o gradiente de f em a, e Df(a)\cdot h é o produto escalar (a parte linear).
  • D^{2}f é a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas).
  • O resto integral é \displaystyle R(h)=\int_{0}^{1}(1-t)\,h^{T}D^{2}f(a+t h)\,h\,dt.
    Nesse problema a=(0,0) e queremos h=(0,2,0,3).

Passo 4

Calculemos a Hessiana D^{2}f(x,y). Já temos as primeiras derivadas; derivando novamente obtemos:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=e^{x}\cos y, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=-e^{x}\cos y.
Assim a Hessiana é
D^{2}f(x,y)=e^{x} \begin{pmatrix} \cos y & -\sin y\\[4pt] -\sin y & -\cos y \end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevemos o resto específico para h=(0,2,0,3). Usando a fórmula do passo 3:
R(h)=\int_{0}^{1}(1-t)\,h^{T}D^{2}f( t h)\,h\,dt.
Aqui t h=(t\cdot 0,2,t\cdot 0,3)=(0,2 t,0,3 t). Vamos expandir a forma quadrática h^{T}D^{2}f( t h)\,h. Com h_{1}=0,2 e h_{2}=0,3 temos, para cada t,
h^{T}D^{2}f(t h)\,h = e^{0,2 t}\Big(\cos(0,3 t)\,(h_{1}^{2}-h_{2}^{2}) - 2\sin(0,3 t)\,h_{1}h_{2}\Big).
Isto é apenas a expansão direta da matriz multiplicada pelo vetor h.

Passo 6

Agora vamos obter uma cota numérica para |R(h)|. Primeiro note que para todo t\in[0,1] vale:
| \cos(0,3 t)|\le 1,\qquad |\sin(0,3 t)|\le 1.
Além disso, ao longo do segmento x=0 até x=0,2 temos 0\le 0,2 t\le 0,2, então
e^{0,2 t}\le e^{0,2}.
Usando essas desigualdades, para todo t
\big|h^{T}D^{2}f(t h)\,h\big| \le e^{0,2}\Big(|h_{1}^{2}-h_{2}^{2}| + 2|h_{1}h_{2}|\Big).
Aplicando a desigualdade triangular |h_{1}^{2}-h_{2}^{2}| \le h_{1}^{2}+h_{2}^{2} e reagrupando,
|h_{1}^{2}-h_{2}^{2}| + 2|h_{1}h_{2}| \le h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+2|h_{1}h_{2}| = (|h_{1}|+|h_{2}|)^{2}.
Portanto
\big|h^{T}D^{2}f(t h)\,h\big| \le e^{0,2}\,(|h_{1}|+|h_{2}|)^{2}.

Passo 7

Agora substituímos h_{1}=0,2 e h_{2}=0,3. Então |h_{1}|+|h_{2}|=0,2+0,3=0,5 e
(|h_{1}|+|h_{2}|)^{2}=0,5^{2}=0,25.
Com isso obtemos uma cota para o resto:
|R(h)| \le \int_{0}^{1}(1-t)\, e^{0,2}\cdot 0,25\, dt = e^{0,2}\cdot 0,25 \int_{0}^{1}(1-t)\,dt.
Compute a integral simples:
\int_{0}^{1}(1-t)\,dt = \left[t-\tfrac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo
|R(h)| \le e^{0,2}\cdot 0,25\cdot \tfrac{1}{2} = e^{0,2}\cdot 0,125.

Passo 8

Calculemos a estimativa numérica final. Usando e^{0,2}\approx 1,221402758,
|R(h)| \le 1,221402758\cdot 0,125 \approx 0,1526753448.
Arredondando de forma razoável, podemos escrever
|R(h)| \le 0,153\quad(\text{aproximadamente}).
Interpretando: a aproximação linear dá L(0,2,0,3)=1,2 e o erro ao usar esta linearização para calcular f(0,2,0,3) é no máximo cerca de 0,153.

Resposta

L(0,2,0,3)=1,2
|R|\le e^{0,2}\cdot 0,125 \approx 0,152675\\ (\text{portanto }|R|\lesssim 0,153)

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