Seja V=P3(R). Determine se o conjunto a seguir é LI ou LD e justifique.
p1(t)=9 t^3-6 t^2+9 t-3, p2(t)=3 t^3-3 t+1

Passo 1

O espaço ambienta é V = P3(R), ou seja, o conjunto dos polinômios de grau até 3. Temos dois polinômios
p1(t)=9t^3-6t^2+9t-3, p2(t)=3t^3-3t+1
e queremos verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, usaremos a definição de combinação linear e exigiremos que
alpha,p1(t)+beta,p2(t)=0
apenas na solução trivial alpha=beta=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos por potências de t, temos
alphal(9t^3-6t^2+9t-3r) + betal(3t^3-3t+1r) = 0

Passo 3

Agrupando coeficientes em cada potência de t, resulta
(9alpha+3beta),t^3 +(-6alpha),t^2 +(9alpha-3beta),t +(-3alpha+beta) =0

Passo 4

Para que isso seja o polinômio zero, cada coeficiente deve anular-se, o que gera o sistema
9alpha + 3beta = 0, -6alpha = 0, 9alpha - 3beta = 0, -3alpha + beta = 0

Passo 5

Da segunda equação vem alpha=0. Substituindo em -3alpha+beta=0 obtemos beta=0. Logo a única solução é a trivial alpha=beta=0.

Resposta

O conjunto p1,p2 é linearmente independente em P3(R).

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