Exercício 9. Dado um espaço vetorial
o seu espaço dual.
(i) Se é uma base de , defina, para cada , o funcional linear nos elementos da base por
Prove que .
(ii) Prove que se é tal que para todo , então .
(iii) Mostre que e ; u linear são canonicamente isomorfos, isto é, exiba um isomorfismo que é independente de bases ou estruturas adicionais sobre (e mostre que é um isomorfismo entre os espaços vetoriais).

Passo 1

O enunciado trata do espaço dual
V^*=ell:Vto Rmidell linear
de um espaço vetorial de dimensão n com base B=v1,dots,vn.
(i) Precisamos mostrar que os funcionais d x^j definidos por
d x^j(vi)=de<ai^j
formam uma base de V^*.
(ii) Devemos provar que se ell(v)=0 para todo ellin V^* então v=0.
(iii) Construir e provar que
Phi:Vlongrightarrow V^**, Phi(v)(ell)=ell(v)
é um isomorfismo canônico.

Passo 2

(i) Linearidade e independência linear de B^*.
Suponha
a1, d x^1+cdots+an, d x^n=0(functional zero)
Aplicando ambos os lados a vk obtemos
a1, d x^1(vk)+cdots+an, d x^n(vk) =a1de<ak^1+cdots+ande<ak^n=ak=0
Como vale para todo k=1,dots,n, segue ak=0. Logo B^* é linearmente independente.

Passo 3

(i) Geração de V^* por B^*.
Seja ellin V^*. Como B é base, qualquer vin V escreve-se
v=x^1v1+cdots+x^nvn,
onde x^j são escalares (funções coordenadas). Então, pela linearidade de ell,
ell(v)=x^1ell(v1)+cdots+x^nell(vn)
Mas também
l(sumj=1^nell(vj), d x^jr)(v) =sumj=1^nell(vj), d x^jl(x^i vir) =sumj=1^n x^j,ell(vj)=ell(v)
Assim
ell=sumj=1^nell(vj), d x^j,
portanto B^* gera V^*. Concluímos que B^* é base de V^*.

Passo 4

(ii) Se ell(v)=0 para todo ellin V^*, então, em particular, para ell= d x^j temos
0= d x^j(v)=x^j,
onde x^j é a j-ésima coordenada de v na base B. Como isso vale para todo j, temos v=0.

Passo 5

(iii) Definição e linearidade de Phi.
Defina
Phi:Vlongrightarrow V^**, l[Phi(v)r](ell)=ell(v)
Para v,win V e alpha,betain R,
Phi(alpha v+beta w)(ell)=ell(alpha v+beta w) =alpha,ell(v)+beta,ell(w) =l[alpha,Phi(v)+beta,Phi(w)r](ell),
logo Phi é linear.

Passo 6

(iii) Injeteção e bijeção de Phi.
Se Phi(v)=0 em V^**, então Phi(v)(ell)=ell(v)=0 para todo ellin V^*. Pelo item (ii) segue v=0, logo Phi é injetora. Como dim V=dim V^*=n, temos dim V^**=n também, e uma aplicação linear injetora entre espaços de mesma dimensão é bijetora. Portanto Phi é um isomorfismo canônico.

Resposta

(i) Demonstrado que B^*= d x^1,dots, d x^n é base de V^*.
(ii) Se ell(v)=0 para todo ellin V^* então v=0.
(iii) A aplicação
Phi:Vto V^**,Phi(v)(ell)=ell(v)
é isomorfismo canônico de V em V^**.

Exercícios relacionados