Suponha que U e W são subespaços quadridimensionais distintos de um espaço vetorial V, onde dim V=6. Ache as possíveis dimensões de U cap W.

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de dimensão dim U=dim W=4 em um espaço vetorial V de dimensão dim V=6. Queremos achar os possíveis valores de dim(Ucap W). Para isso usaremos o Teorema da Dimensão (ou Fórmula de Grassmann) para subespaços.

Passo 2

A Fórmula de Grassmann para subespaços afirma:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Como U+Wsubseteq V, temos
dim(U+W)<=dim V=6

Passo 3

Substituindo dim U=dim W=4 na fórmula e usando dim(U+W)<=6, obtemos
dim(U+W)=4+4-dim(Ucap W)=8-dim(Ucap W)<=6
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8-dim(Ucap W)<=6 Longrightarrow dim(Ucap W)>=2
Além disso dim(Ucap W) não pode exceder mindim U,dim W=4. Então
2<=dim(Ucap W)<=4

Passo 4

Como U e W são subespaços distintos, eles não podem coincidir, ou seja, dim(Ucap W)neq4. Assim sobram apenas
dim(Ucap W)=2oudim(Ucap W)=3

Resposta

dim(Ucap W) pode ser 2 ou 3.

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