Suponha que
e
são subespaços quadridimensionais distintos de um espaço vetorial
, onde
. Ache as possíveis dimensões de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de dimensão
em um espaço vetorial
de dimensão
. Queremos achar os possíveis valores de
. Para isso usaremos o Teorema da Dimensão (ou Fórmula de Grassmann) para subespaços.
Passo 2
A Fórmula de Grassmann para subespaços afirma:
Como
, temos
Passo 3
Substituindo
na fórmula e usando
, obtemos
logo
Além disso
não pode exceder
. Então
Passo 4
Como
e
são subespaços distintos, eles não podem coincidir, ou seja,
. Assim sobram apenas