Mostre que a matriz A=\left(\begin{array}{cc}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrita como combinação linear das matrizes:
A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = \begin{pmatrix}6 & -8 \\[0.3em] -1 & -8\end{pmatrix}
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
A_{1} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[0.3em] -2 & -2\end{pmatrix},\quad A_{2} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[0.3em] 2 & 3\end{pmatrix},\quad A_{3} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[0.3em] 1 & 4\end{pmatrix}.
Isso é um problema de subespaço gerado por matrizes: vamos buscar escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
xA_{1} + yA_{2} + zA_{3} \;=\; A.]

Passo 2

Definimos escalares x,y,z e escrevemos
x\begin{pmatrix}4 & 0 \\[0.3em] -2 & -2\end{pmatrix} \;+\; y\begin{pmatrix}1 & -1 \\[0.3em] 2 & 3\end{pmatrix} \;+\; z\begin{pmatrix}0 & 2 \\[0.3em] 1 & 4\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}6 & -8 \\[0.3em] -1 & -8\end{pmatrix}.]

Passo 3

Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema linear
\begin{cases} 4x \;+\; y \;+\; 0z = 6,\\\\ 0x \;-\; y \;+\;2z = -8,\\\\ -2x\;+\;2y \;+\; z = -1,\\\\ -2x\;+\;3y \;+\;4z = -8. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem
y = 6 - 4x,
e da segunda
-y + 2z = -8 \quad\Longrightarrow\quad -(6 - 4x) + 2z = -8 \;\Rightarrow\; 2z = -8 +6 -4x \;\Rightarrow\; z = -1 - 2x.

Passo 5

Substituindo y=6-4x e z=-1-2x na terceira equação
-2x + 2(6-4x) +(-1-2x) = -1 \;\Longrightarrow\; -2x +12 -8x -1 -2x = -1 \;\Longrightarrow\; -12x +11 = -1 \;\Longrightarrow\; x = 1.
Logo
y = 6 - 4\cdot1 = 2, \qquad z = -1 - 2\cdot1 = -3.

Passo 6

Para garantir consistência, checamos a quarta equação:
-2\cdot1 + 3\cdot2 + 4(-3) = -2 +6 -12 = -8,
que bate com o lado direito. Portanto não há contradição.

Resposta

A = 1\cdot A_{1} \;+\; 2\cdot A_{2} \;-\; 3\cdot A_{3}.

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