Verifique se em cada um dos itens o conjunto S é um subespaço vetorial de V.
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y+z=0\right\}, onde V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y+z=0\}
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3 (operações usuais). Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in S.
  2. Fechamento sob soma: u,v\in S\implies u+v\in S.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: u\in S,\\ k\in\mathbb{R}\implies k\,u\in S.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a S. Substituindo:
0^2 + 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)\in S.

Passo 3

Testamos a soma de dois vetores quaisquer \displaystyle u=(x_1,y_1,z_1)\in S e \displaystyle v=(x_2,y_2,z_2)\in S.
Como x_1^2+y_1+z_1=0 e x_2^2+y_2+z_2=0, para u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) teríamos
(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1^2+y_1+z_1)+(x_2^2+y_2+z_2)+2x_1x_2 = 0 + 0 + 2x_1x_2 = 2x_1x_2.
Em geral 2x_1x_2\neq 0, portanto u+v\notin S para escolhas genéricas de x_1,x_2. Falha o fechamento sob soma.

Passo 4

Como já falhou uma das propriedades necessárias, não é preciso testar multiplicação escalar, mas por completude observe que
k\,(x,y,z)=(kx,ky,kz) \quad\Rightarrow\quad (kx)^2+(ky)+(kz) = k^2x^2 + k(y+z) = k^2x^2 + k(-x^2) = x^2\,k(k-1),
que também não é zero para todo k e x. Logo há falha no fechamento escalar.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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