Consideremos V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais.
a) Mostre que U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y-z=0\right\} e V=\left\{(x, x, x) \in \mathbb{R}^{3}: x \in \mathbb{R}\right\} são subespaços vetoriais de V.
b) Mostre que V é soma direta de U e V.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 com as operações usuais. Definimos dois subconjuntos:
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\},
e
W = \{(x,x,x)\in\mathbb{R}^3 \mid x\in\mathbb{R}\}.
Na parte (a) precisamos mostrar que U e W são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3. Na parte (b) vamos provar que
\mathbb{R}^3 = U \oplus W,
ou seja, que a soma U+W é todo \mathbb{R}^3 e que U \cap W = \{(0,0,0)\}.

Passo 2

Para mostrar que U é subespaço vetorial, verificamos três propriedades:
  1. Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0 + 2\cdot0 - 0 = 0, logo (0,0,0)\in U.
  2. Fechamento sob soma: se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em U, então
x_1 + 2y_1 - z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 + 2y_2 - z_2 = 0.
Somando,
(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = 0 + 0 = 0,
logo (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\in U.
3. Fechamento sob escalar: se (x,y,z)\in U e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda x + 2(\lambda y) - (\lambda z) = \lambda\,(x+2y-z) = \lambda\cdot0 = 0,
logo (\lambda x,\lambda y,\lambda z)\in U. Assim U é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para mostrar que W é subespaço vetorial, note que qualquer vetor em W tem forma (x,x,x):
  1. Vetor zero: (0,0,0) ocorre para x=0.
  2. Soma: (x_1,x_1,x_1)+(x_2,x_2,x_2)=(x_1+x_2,x_1+x_2,x_1+x_2), que está em W.
  3. Escalar: \lambda\,(x,x,x)=(\lambda x,\lambda x,\lambda x), que também está em W.
    Portanto W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Calculamos U\cap W. Se (x,x,x)\in U, então deve satisfazer
x + 2x - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo o único vetor comum é (0,0,0), ou seja,
U \cap W = \{(0,0,0)\}.

Passo 5

Mostramos que U+W=\mathbb{R}^3. Dado um vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^3, buscamos u\in U e w\in W tais que
u + w = (a,b,c).
Escrevemos w=(t,t,t) e u=(a-t,\;b-t,\;c-t). Para u\in U precisamos
(a-t) + 2(b-t) - (c-t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + 2b - c -2t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{a + 2b - c}{2}.
Com esse valor de t, u satisfaz a equação de U e então (a,b,c)=u+w. Assim qualquer vetor de \mathbb{R}^3 decompõe-se em soma de um vetor de U com um de W.

Resposta

Mostramos que U e W são subespaços de \mathbb{R}^3, que U\cap W=\{(0,0,0)\} e que U+W=\mathbb{R}^3. Portanto
\mathbb{R}^3 = U \oplus W.

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