Consideremos
com as operações usuais.
a) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
b) Mostre que
é soma direta de
e
.
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
com as operações usuais. Definimos dois subconjuntos:
e
Na parte (a) precisamos mostrar que
e
são subespaços vetoriais de
. Na parte (b) vamos provar que
ou seja, que a soma
é todo
e que
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial, verificamos três propriedades:
- Vetor zero:
satisfaz , logo . - Fechamento sob soma: se
e estão em , então
Somando,
logo
.
3. Fechamento sob escalar: se e
, então
3. Fechamento sob escalar: se
logo
. Assim
é subespaço de
.
Passo 3
Para mostrar que
é subespaço vetorial, note que qualquer vetor em
tem forma
:
- Vetor zero:
ocorre para . - Soma:
, que está em . - Escalar:
, que também está em .
Portantoé subespaço de .
Passo 4
Calculamos
. Se
, então deve satisfazer
Logo o único vetor comum é
, ou seja,
Passo 5
Mostramos que
. Dado um vetor arbitrário
, buscamos
e
tais que
Escrevemos
e
. Para
precisamos
Com esse valor de
,
satisfaz a equação de
e então
. Assim qualquer vetor de
decompõe-se em soma de um vetor de
com um de
.
Resposta
Mostramos que
e
são subespaços de
, que
e que
. Portanto