Mostre que a matriz A=\left(\begin{array}{cc}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrita como combinação linear das matrizes:
A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix}
como combinação linear das matrizes
A_{1} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad A_{2} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad A_{3} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}.
Isso significa achar escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
xA_{1} + yA_{2} + zA_{3} = A.

Passo 2

Assumindo
x\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix},
igualamos entrada a entrada e obtemos o sistema
\begin{cases} 4x + y = 6,\\\\ -\,y + 2z = -8,\\\\ -2x + 2y + z = -1,\\\\ -2x + 3y + 4z = -8. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
y = 6 - 4x.
Substituindo na segunda:
-(6-4x) + 2z = -8 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 2z = -2 \quad\Longrightarrow\quad z = -1 - 2x.
Agora usamos a terceira equação:
-2x + 2(6-4x) + (-1-2x) = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 12 - 8x -1 -2x = -1 \quad\Longrightarrow\quad -12x + 11 = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Logo
y = 6 - 4\cdot1 = 2, \quad z = -1 - 2\cdot1 = -3.

Passo 4

Para garantir consistência, checamos a quarta equação:
-2(1) + 3(2) + 4(-3) = -2 + 6 - 12 = -8,
que coincide com o termo independente. Portanto a solução está correta.

Resposta

A = 1\cdot A_{1} \;+\; 2\cdot A_{2} \;-\; 3\cdot A_{3}.

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