Mostre que a matriz A=\left(\begin{array}{cc}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrita como combinação linear das matrizes: A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right) . Passo 1O enunciado pede para escrever a matriz A = \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix} como combinação linear das matrizes A_{1} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad A_{2} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad A_{3} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}. Isso significa achar escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que xA_{1} + yA_{2} + zA_{3} = A. Passo 2Assumindo x\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix}, igualamos entrada a entrada e obtemos o sistema \begin{cases} 4x + y = 6,\\\\ -\,y + 2z = -8,\\\\ -2x + 2y + z = -1,\\\\ -2x + 3y + 4z = -8. \end{cases} Passo 3Da primeira equação vem y = 6 - 4x. Substituindo na segunda: -(6-4x) + 2z = -8 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 2z = -2 \quad\Longrightarrow\quad z = -1 - 2x. Agora usamos a terceira equação: -2x + 2(6-4x) + (-1-2x) = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 12 - 8x -1 -2x = -1 \quad\Longrightarrow\quad -12x + 11 = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1. Logo y = 6 - 4\cdot1 = 2, \quad z = -1 - 2\cdot1 = -3. Passo 4Para garantir consistência, checamos a quarta equação: -2(1) + 3(2) + 4(-3) = -2 + 6 - 12 = -8, que coincide com o termo independente. Portanto a solução está correta. Resposta A = 1\cdot A_{1} \;+\; 2\cdot A_{2} \;-\; 3\cdot A_{3}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosMostre que a matriz A=\left(\begin{array}{cc}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrita como combinação linear das matrizes: A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right) . Consideremos V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais. a) Mostre que U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y-z=0\right\} e V=\left\{(x, x, x) \in \mathbb{R}^{3}: x \in \mathbb{R}\right\} são subespaços vetoriais de V. b) Mostre que V é soma direta de U e V. Dados os vetores \vec{a}=(2,1, \alpha), \vec{b}=(\alpha+2,-5,2) e \vec{c}=(2 \alpha, 8, \alpha), determinar Sabendo que A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right) e A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & c & 1 \\\\ 0 & b & 1 & 1 \\\ a & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & -1\end{array}\right), (a) encontre os valores de a, b, c. (b) encontre a solução de A x=b, onde b=\left(\begin{array}{llll}1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right)^{T}.