Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] é inversível se, e somente se, a d-b c \neq 0 e, neste caso, a inversa é dada por A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right].
(Sugestão: encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada \left[A \mid I_{2}\right], para a \neq 0 e para a=0 ).
Passo 1
O enunciado pede para usar eliminação de Gauss na matriz aumentada
\bigl[A\mid I_{2}\bigr] =\begin{bmatrix} a & b & 1 & 0\\\ c & d & 0 & 1 \end{bmatrix}
Caso a=0, para que A seja invertível precisamos de ad-bc\neq0, ou seja -bc\neq0 e então b\neq0 e c\neq0. Fazemos primeiro a troca de linhas para ter pivô não nulo em cima:
R_{1}\leftrightarrow R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} c & d & 0 & 1\\\\ 0 & b & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Agora procedemos como no caso anterior, normalizando e eliminando, e obtemos novamente a forma reduzida
Se \det(A)=ad-bc=0, em ambas as tentativas de eliminação acabaríamos com pivô zero na segunda linha, indicando dependência linear das linhas de A e impossibilidade de continuar o processo – ou seja, A não é invertível.