Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] é inversível se, e somente se, a d-b c \neq 0 e, neste caso, a inversa é dada por A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right].
(Sugestão: encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada \left[A \mid I_{2}\right], para a \neq 0 e para a=0 ).

Passo 1

O enunciado pede para usar eliminação de Gauss na matriz aumentada
\bigl[A\mid I_{2}\bigr] =\begin{bmatrix} a & b & 1 & 0\\\ c & d & 0 & 1 \end{bmatrix}
para mostrar que A é invertível exatamente quando
\det(A)=a d-b c\neq 0
e, neste caso, obter explicitamente
A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\begin{bmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{bmatrix}.

Passo 2

Caso a\neq 0, fazemos os pivôs em ordem:
  1. Normalizamos a primeira linha:
R_{1}\leftarrow\frac{1}{a}R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{b}{a} & \tfrac{1}{a} & 0\\\ c & d & 0 & 1 \end{bmatrix}.
  1. Anulamos o elemento c abaixo do pivô:
R_{2}\leftarrow R_{2}-c\,R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{b}{a} & \tfrac{1}{a} & 0\\\\ 0 & d-\tfrac{b\,c}{a} & -\tfrac{c}{a} & 1 \end{bmatrix}.
Note que
d-\frac{b c}{a}=\frac{ad-bc}{a}.
  1. Como ad-bc\neq0, o pivô da segunda linha é não nulo. Normalizamos:
R_{2}\leftarrow\frac{a}{ad-bc}\,R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{b}{a} & \tfrac{1}{a} & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}.
  1. Finalmente, anulamos o \tfrac{b}{a} acima do segundo pivô:
R_{1}\leftarrow R_{1}-\frac{b}{a}R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & \tfrac{d}{ad-bc} & -\tfrac{b}{ad-bc}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}.
O que prova que
A^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{bmatrix}.

Passo 3

Caso a=0, para que A seja invertível precisamos de ad-bc\neq0, ou seja -bc\neq0 e então b\neq0 e c\neq0. Fazemos primeiro a troca de linhas para ter pivô não nulo em cima:
R_{1}\leftrightarrow R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} c & d & 0 & 1\\\\ 0 & b & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Agora procedemos como no caso anterior, normalizando e eliminando, e obtemos novamente a forma reduzida
\begin{bmatrix} 1 & 0 & \tfrac{d}{ad-bc} & -\tfrac{b}{ad-bc}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{bmatrix},
o que leva à mesma fórmula para A^{-1}.

Passo 4

Se \det(A)=ad-bc=0, em ambas as tentativas de eliminação acabaríamos com pivô zero na segunda linha, indicando dependência linear das linhas de A e impossibilidade de continuar o processo – ou seja, A não é invertível.

Resposta

A matriz A é invertível se, e somente se,
ad - bc \neq 0
e, neste caso,
A^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{bmatrix}.

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