Um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas:
(a) Sempre tem solução única.
(b) Pode ter nenhuma, uma ou infinitas soluções.
(c) Sempre tem infinitas soluções.
(d) É sempre impossível.
(a) Sempre tem solução única.
(b) Pode ter nenhuma, uma ou infinitas soluções.
(c) Sempre tem infinitas soluções.
(d) É sempre impossível.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear com três equações e quatro incógnitas e pergunta qual é o número possível de soluções. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente o Teorema do Posto (ou Teorema da Dimensão do Núcleo), que relaciona o posto da matriz de coeficientes ao número de soluções de um sistema.
Passo 2
Seja
a matriz de coeficientes e seja
o vetor termos independentes. Definimos
O sistema é consistente (tem solução) se, e somente se,
. Se
, o sistema é inconsistente (não tem solução).
Passo 3
Sabemos que
.
- Para ter solução única, seria necessário
, mas isso é impossível pois . - Se o sistema for inconsistente
, então não há solução. - Se o sistema for consistente
, então o número de graus de liberdade (parâmetros livres) é
logo há pelo menos um parâmetro livre, o que implica em infinitas soluções.
Passo 4
Portanto, um sistema com 3 equações e 4 incógnitas não pode ter solução única, mas pode ser inconsistente (nenhuma solução) ou consistente com infinitas soluções. Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)