Um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas:
(a) Sempre tem solução única.
(b) Pode ter nenhuma, uma ou infinitas soluções.
(c) Sempre tem infinitas soluções.
(d) É sempre impossível.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com três equações e quatro incógnitas e pergunta qual é o número possível de soluções. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente o Teorema do Posto (ou Teorema da Dimensão do Núcleo), que relaciona o posto da matriz de coeficientes ao número de soluções de um sistema.

Passo 2

Seja A\in\mathbb{R}^{3\times4} a matriz de coeficientes e seja b\in\mathbb{R}^3 o vetor termos independentes. Definimos
r = \mathrm{rank}(A),
r_{\mathrm{aug}} = \mathrm{rank}([A\mid b]).
O sistema é consistente (tem solução) se, e somente se, r = r_{\mathrm{aug}}. Se r < r_{\mathrm{aug}}, o sistema é inconsistente (não tem solução).

Passo 3

Sabemos que \mathrm{rank}(A)\le\min(3,4)=3.
  • Para ter solução única, seria necessário r = 4, mas isso é impossível pois r\le3<4.
  • Se o sistema for inconsistente r<r_{\mathrm{aug}}, então não há solução.
  • Se o sistema for consistente r = r_{\mathrm{aug}}, então o número de graus de liberdade (parâmetros livres) é
4 - r \;\ge\;4 - 3 = 1,
logo há pelo menos um parâmetro livre, o que implica em infinitas soluções.

Passo 4

Portanto, um sistema com 3 equações e 4 incógnitas não pode ter solução única, mas pode ser inconsistente (nenhuma solução) ou consistente com infinitas soluções. Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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