Mostre, com exemplos de sistemas quadrados, que: (i) pode haver infinitas soluções; (ii) pode não haver solução. Indique os respectivos postos e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando exemplos de sistemas quadrados (mesmo número de equações e incógnitas), que:
- Há casos em que o sistema tem infinitas soluções.
- Há casos em que o sistema não tem solução.
Para isso vamos usar o conceito de posto da matriz dos coeficientese da matriz aumentada . Lembrando que, num sistema de equações e incógnitas:
- Se
, há solução única. - Se
, há infinitas soluções. - Se
, não há solução.
Passo 2
Exemplo de infinitas soluções
A matriz de coeficientes e a matriz aumentada são
As duas linhas de
, o sistema é compatível indeterminado e admite infinitas soluções, por exemplo
Passo 3
Exemplo de sistema sem solução
Aqui a matriz de coeficientes é
que tem posto
Mas a matriz aumentada
tem linhas não proporcionais na parte aumentada, de modo que
Como (\mathrm{rank}(A)=1<2=\mathrm{rank}(A\mid b)], o sistema é incompatível e não tem solução.
Resposta
(i) Por exemplo,
em que [\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)=1<2), dando infinitas soluções.
(ii) Por exemplo,
em que (\mathrm{rank}(A)=1<2=\mathrm{rank}(A\mid b)], não há solução.