Mostre, com exemplos de sistemas quadrados, que: (i) pode haver infinitas soluções; (ii) pode não haver solução. Indique os respectivos postos e justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando exemplos de sistemas quadrados (mesmo número de equações e incógnitas), que:
  1. Há casos em que o sistema tem infinitas soluções.
  2. Há casos em que o sistema não tem solução.
    Para isso vamos usar o conceito de posto da matriz dos coeficientes A e da matriz aumentada (A\mid b). Lembrando que, num sistema de n equações e n incógnitas:
  • Se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)=n, há solução única.
  • Se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)<n, há infinitas soluções.
  • Se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}(A\mid b), não há solução.

Passo 2

Exemplo de infinitas soluções \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)<n\): Considere o sistema quadrado \(2\times2\) \[\begin{cases} x + y = 2,\\\\ 2x + 2y = 4. \end{cases}
A matriz de coeficientes e a matriz aumentada são
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix}, \quad (A\mid b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 2 & 2 & 4\end{pmatrix}.
As duas linhas de A\] são proporcionais, logo \[\mathrm{rank}(A)=1<2.\] Como a coluna de termos independentes também segue a mesma proporcionalidade, temos \[\mathrm{rank}(A\mid b)=1.\] Como \(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)=1<2, o sistema é compatível indeterminado e admite infinitas soluções, por exemplo
y=t,\quad x=2-t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Exemplo de sistema sem solução \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}(A\mid b)\): Considere agora o sistema \[\begin{cases} x + y = 2,\\\ x + y = 3. \end{cases}
Aqui a matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
que tem posto
\mathrm{rank}(A)=1<2.
Mas a matriz aumentada
(A\mid b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}
tem linhas não proporcionais na parte aumentada, de modo que
\mathrm{rank}(A\mid b)=2.
Como (\mathrm{rank}(A)=1<2=\mathrm{rank}(A\mid b)], o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

(i) Por exemplo,
\begin{cases} x+y=2,\\\\ 2x+2y=4, \end{cases}
em que [\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)=1<2), dando infinitas soluções.
(ii) Por exemplo,
\begin{cases} x+y=2,\\\ x+y=3, \end{cases}
em que (\mathrm{rank}(A)=1<2=\mathrm{rank}(A\mid b)], não há solução.

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