Sejam A e B matrizes n \times n e seja C=A B. Mostre que se B é singular, então C deve ser singular. [Sugestão: use o Teorema 1.5.2.]

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas n\times n.
  • Define-se C = A B.
  • Sabemos que B é singular (ou seja, não-invertível).
O que é pedido:
  • Mostrar que C também é singular.
Lembrete (Teorema 1.5.2, que foi sugerido usar):
  • Uma matriz quadrada M é invertível se, e somente se, a única solução do sistema homogêneo M x = 0 é x=0.
  • Em linguagem de espaços vetoriais: M é invertível \iff o núcleo (ou espaço nulo) de M é \{0\}.

Passo 2

Explicar o que significa dizer que B é singular, usando o teorema citado.
Pelo Teorema 1.5.2, B é singular exatamente quando o sistema homogêneo
B x = 0
tem alguma solução não-trivial, isto é, existe um vetor v com v\neq 0 tal que
B v = 0.
Esse vetor v pertence ao núcleo de B e prova que o núcleo não é só o zero.

Passo 3

Usar a relação C = A B e o vetor v não-nulo com B v = 0.
Calculemos a multiplicação de C pelo vetor v:
C v = (A B) v.
Pelo associatividade da multiplicação matriz-vetor (ou da multiplicação de matrizes),
( A B ) v = A (B v).

Passo 4

Substituir B v = 0 na expressão de C v:
Como B v = 0, temos
C v = A (B v) = A 0 = 0.
Portanto existe um vetor v\neq 0 tal que C v = 0. Isso significa que o núcleo de C contém um vetor não-trivial.

Passo 5

Concluir, aplicando novamente o Teorema 1.5.2:
Como o núcleo de C não é apenas \{0\} (existe v\neq 0 com C v=0), pelo Teorema 1.5.2 a matriz C não é invertível. Ou seja, C é singular.

Resposta

A matriz C é singular.

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