Sejam
e
matrizes
e seja
. Mostre que se
é singular, então
deve ser singular. [Sugestão: use o Teorema 1.5.2.]
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas . - Define-se
. - Sabemos que
é singular (ou seja, não-invertível).
O que é pedido:
- Mostrar que
também é singular.
Lembrete (Teorema 1.5.2, que foi sugerido usar):
- Uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se, a única solução do sistema homogêneo é . - Em linguagem de espaços vetoriais:
é invertível o núcleo (ou espaço nulo) de é .
Passo 2
Explicar o que significa dizer que
é singular, usando o teorema citado.
Pelo Teorema 1.5.2,
é singular exatamente quando o sistema homogêneo
tem alguma solução não-trivial, isto é, existe um vetor
com
tal que
Esse vetor
pertence ao núcleo de
e prova que o núcleo não é só o zero.
Passo 3
Usar a relação
e o vetor
não-nulo com
.
Calculemos a multiplicação de
pelo vetor
:
Pelo associatividade da multiplicação matriz-vetor (ou da multiplicação de matrizes),
Passo 4
Substituir
na expressão de
:
Como
, temos
Portanto existe um vetor
tal que
. Isso significa que o núcleo de
contém um vetor não-trivial.
Passo 5
Concluir, aplicando novamente o Teorema 1.5.2:
Como o núcleo de
não é apenas
(existe
com
), pelo Teorema 1.5.2 a matriz
não é invertível. Ou seja,
é singular.
Resposta
A matriz
é singular.