Mostre que se A é uma matriz triangular, então det A neq 0 se e somente se todos os elementos na diagonal de A são diferentes de zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo A uma matriz triangular de ordem n, temos
det(A)neq0 Long<=ftrightarrow todos os aiineq0
O conteúdo é o cálculo de determinantes de matrizes triangulares e usaremos o desenvolvimento de Laplace (ou argumento de indução) para relacionar det(A) com os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Vamos provar por indução em n.
Para n=1, A=(a11) e claramente det(A)=a11neq0 se e somente se a11neq0. Desta forma, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Suponha que o resultado seja verdade para toda matriz triangular de ordem n-1, e considere agora uma matriz triangular A de ordem n. Sem perda de generalidade, suponha que A seja triangular superior, ou seja,
A = l(aijr) com aij=0 para i>j
Ao desenvolver o determinante de A pela primeira coluna, o único elemento não nulo nessa coluna é a11. Logo, pelo teorema de Laplace,
det(A) = a11,detl(A11r),
onde A11 é a submatriz obtida de A removendo-se a primeira linha e a primeira coluna. Note que A11 também é triangular superior de ordem n-1.

Passo 4

Pela hipótese de indução,
detl(A11r)neq0 Long<=ftrightarrow todos os e<=mentos da diagonal de A11neq0
Como a diagonal de A11 é precisamente a22,a33,dots,ann, segue que
det(A) = a11,detl(A11r)
é diferente de zero se e somente se
a11neq0 e detl(A11r)neq0,
ou seja, se e somente se todos os aiineq0 para i=1,2,dots,n. Iterando esse argumento, concluímos que
det(A) = prodi=1^n aii

Resposta

Mostrou-se que, em uma matriz triangular A, vale
det(A)=prodi=1^n aii,
logo det(A)neq0 se e somente se todos os elementos da diagonal principal de A são diferentes de zero.

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