Mostre que se
é uma matriz triangular, então
se e somente se todos os elementos na diagonal de
são diferentes de zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
uma matriz triangular de ordem
, temos
O conteúdo é o cálculo de determinantes de matrizes triangulares e usaremos o desenvolvimento de Laplace (ou argumento de indução) para relacionar
com os elementos da diagonal principal.
Passo 2
Vamos provar por indução em
.
Para ,
e claramente
se e somente se
. Desta forma, a propriedade vale para
.
Para
Passo 3
Suponha que o resultado seja verdade para toda matriz triangular de ordem
, e considere agora uma matriz triangular
de ordem
. Sem perda de generalidade, suponha que
seja triangular superior, ou seja,
Ao desenvolver o determinante de
pela primeira coluna, o único elemento não nulo nessa coluna é
. Logo, pelo teorema de Laplace,
onde
é a submatriz obtida de
removendo-se a primeira linha e a primeira coluna. Note que
também é triangular superior de ordem
.
Passo 4
Pela hipótese de indução,
Como a diagonal de
é precisamente
, segue que
é diferente de zero se e somente se
ou seja, se e somente se todos os
para
. Iterando esse argumento, concluímos que
Resposta
Mostrou-se que, em uma matriz triangular
, vale
logo
se e somente se todos os elementos da diagonal principal de
são diferentes de zero.