3- Mostre (A B)^T=B^T A^T com as matrizes:
A=[ll 1 & 2 3 & 4 ], B=[ll 0 & 1 1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a propriedade da transposta de um produto de matrizes, ou seja
(AB)^T = B^TA^T
usando as matrizes
A = 1 & 2 3 & 4, B = 0 & 1 1 & 0
Vamos calcular explicitamente AB e depois (AB)^T, em seguida calcular A^T, B^T e o produto B^T A^T, e verificar que tudo coincide.

Passo 2

Primeiro encontramos o produto AB. Lembrando que
(AB)ij = sumk=1^2 AikBkj,
temos
AB = 1cdot0 + 2cdot1 & 1cdot1 + 2cdot0 [6pt] 3cdot0 + 4cdot1 & 3cdot1 + 4cdot0 = 2 & 1 4 & 3 ]

Passo 3

Agora calculamos a transposta de AB. A transposta troca linhas por colunas, ou seja
(AB)^T = 2 & 1 4 & 3^T = 2 & 4 1 & 3

Passo 4

Em seguida obtemos as transpostas individuais:
A^T = 1 & 3 2 & 4, B^T = 0 & 1 1 & 0
(observe que B é simétrica, logo B^T = B).

Passo 5

Agora calculamos o produto B^T A^T:
B^T A^T = 0 & 1 1 & 0 1 & 3 2 & 4 = 0cdot1 + 1cdot2 & 0cdot3 + 1cdot4 [4pt] 1cdot1 + 0cdot2 & 1cdot3 + 0cdot4 = 2 & 4 1 & 3 ]

Passo 6

Comparando
(AB)^T = 2 & 4 1 & 3 e B^T A^T = 2 & 4 1 & 3,
vemos que são exatamente iguais, o que confirma a propriedade desejada.

Resposta

(AB)^T = B^T A^T.

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