Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois. Defina em
é um produto interno?
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
dos polinômios de grau
e define em
a aplicação
Para verificar que isto é um produto interno, precisamos checar três propriedades: bilinearidade (linearidade em cada argumento), simetria e definitude positiva.
Passo 2
(Bilinearidade) Tomemos
e escalares
. Usando a linearidade do integral, temos
Analogamente se mostra linearidade no segundo argumento.
Passo 3
(Simetria) Pela comutatividade do produto de funções dentro do integrando,
Passo 4
(Definitude positiva) Para todo
,
Se
, então
implica
em todo
. Como
é polinômio e só pode ter número finito de raízes, só pode ser o polinômio zero. Logo,
só se
.
Resposta
Sim,
satisfaz bilinearidade, simetria e definitude positiva, portanto é um produto interno em
.