Seja P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois. Defina em P2
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(t) g(t) d t
lang<= f, grang<= é um produto interno?

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau <=2 e define em P2 a aplicação
lang<= f,grang<= = integral-1^1 f(t),g(t),dt
Para verificar que isto é um produto interno, precisamos checar três propriedades: bilinearidade (linearidade em cada argumento), simetria e definitude positiva.

Passo 2

(Bilinearidade) Tomemos f,g,hinP2 e escalares a,binR. Usando a linearidade do integral, temos
lang<= a f + b g,,hrang<= =integral-1^1(a f(t)+b g(t)),h(t),dt =aintegral-1^1f(t),h(t),dt +bintegral-1^1g(t),h(t),dt =alang<= f,hrang<= + blang<= g,hrang<=
Analogamente se mostra linearidade no segundo argumento.

Passo 3

(Simetria) Pela comutatividade do produto de funções dentro do integrando,
lang<= f,grang<= =integral-1^1f(t),g(t),dt =integral-1^1g(t),f(t),dt =lang<= g,frang<=

Passo 4

(Definitude positiva) Para todo finP2,
lang<= f,frang<= =integral-1^1f(t)^2,dt>= 0
Se lang<= f,frang<==0, então integral-1^1f(t)^2dt=0 implica f(t)^2=0 em todo [-1,1]. Como f é polinômio e só pode ter número finito de raízes, só pode ser o polinômio zero. Logo, lang<= f,frang<==0 só se f=0.

Resposta

Sim, lang<= f,grang<==integral-1^1f(t)g(t)dt satisfaz bilinearidade, simetria e definitude positiva, portanto é um produto interno em P2.

Exercícios relacionados