Responda, justificando, quais das funções abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+3 y, 5 x-y, 4 z)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(2x+3y,;5x-y,;4z)
e pede para decidir se T é ou não uma transformação linear. Vamos usar a definição de transformação linear em espaços vetoriais, isto é, verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição: uma aplicação Tcolon Vto W entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,vin V e escalar alpha, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha,u)=alpha,T(u)

Passo 3

Verificação da aditividade.
Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
e
T(u+v) =(2(x1+x2)+3(y1+y2),;5(x1+x2)-(y1+y2),;4(z1+z2))
Distribuindo,
T(u+v) =(2x1+3y1,,5x1-y1,,4z1) +(2x2+3y2,,5x2-y2,,4z2) =T(u)+T(v)

Passo 4

Verificação da homogeneidade.
Para alphainR e u=(x,y,z), temos
alpha,u=(alpha x,alpha y,alpha z)
e
T(alpha,u) =(2(alpha x)+3(alpha y),;5(alpha x)-(alpha y),;4(alpha z)) =(alpha(2x+3y),;alpha(5x-y),;alpha(4z)) =alpha,T(x,y,z)

Passo 5

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade estão satisfeitas, é uma aplicação linear. Equivalentemente, nota-se que
logo corresponde à multiplicação por uma matriz, o que garante linearidade.

Resposta

A aplicação T é uma transformação linear.

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