Responda, justificando, quais das funções abaixo são transformações lineares:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
e pede para decidir se
é ou não uma transformação linear. Vamos usar a definição de transformação linear em espaços vetoriais, isto é, verificar aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Lembrando a definição: uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem
Passo 3
Verificação da aditividade.
Sejam
Sejam
Então
e
Distribuindo,
Passo 4
Verificação da homogeneidade.
Para e
, temos
Para
e
Passo 5
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade estão satisfeitas,
é uma aplicação linear. Equivalentemente, nota-se que
logo
corresponde à multiplicação por uma matriz, o que garante linearidade.
Resposta
A aplicação
é uma transformação linear.