Mostre que as matrizes A, B e C abaixo são L.I.
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad e \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
e pede para mostrar que A,B,C são linearmente independentes em M_{2\times2}(\mathbb{R}). Isto significa provar que, se
\alpha A + \beta B + \gamma C = 0_{2\times2},
então \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e calculamos cada entrada:
\alpha A + \beta B + \gamma C = \alpha\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Somando termo a termo, obtemos
\alpha A + \beta B + \gamma C = \begin{pmatrix} \alpha+\beta+\gamma & \alpha + \gamma\\\\ 0\cdot\alpha + 0\cdot\beta + 1\cdot\gamma & 0\cdot\alpha + \beta + \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\gamma\\\ \gamma & \beta+\gamma \end{pmatrix}.
Como queremos que isso seja igual a
0_{2\times2}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
temos o sistema de equações
\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0,\\\ \alpha + \gamma = 0,\\\ \gamma = 0,\\\ \beta + \gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem \gamma=0. Substituindo em \alpha+\gamma=0 \alpha=0. E em \beta+\gamma=0 \beta=0. Portanto a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0.

Resposta

As matrizes A, B e C são linearmente independentes, pois a única combinação linear que as anula é a trivial.

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