Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
d) O conjunto dos vetores v \in \mathbb{R}^{5} que tem duas ou mais coordenadas nulas.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = \{\,v\in\mathbb{R}^{5}\mid v\text{ tem duas ou mais coordenadas nulas}\}
e pergunta se S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^5. Para isso, vamos verificar se S contém o vetor zero, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0,0) está em S. Como ele tem todas as cinco coordenadas nulas (logo “duas ou mais”), temos
(0,0,0,0,0)\in S.
Portanto, S não está vazio e contém o zero.

Passo 3

Testamos a fechadura sob soma com um contraexemplo. Tome
v = (0,0,1,1,1),\quad w = (1,1,0,0,0).
Cada um tem exatamente duas ou mais coordenadas iguais a zero, então v\in S e w\in S. Mas
v + w = (0+1,\;0+1,\;1+0,\;1+0,\;1+0) = (1,1,1,1,1),
que não tem nenhuma coordenada nula. Logo v+w\notin S, isto é, S não é fechado sob soma.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^5.

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