Mostre que as matrizes A=[ll1 & 1 y & 1], em que y é um número real não nulo, verificam a equação X^2=2 X.

Passo 1

Resumindo, temos a matriz
A=1 & 1 [4pt] y & 1,
onde yneq0. Queremos verificar a equação
X^2=2X
substituindo X=A. Para isso vamos calcular A^2 e comparar com 2A.]

Passo 2

Calculemos
A^2=Acdot A =1 & 1 [4pt] y & 1 1 & 1 [4pt] y & 1
Usando a definição de produto de matrizes, obtemos
A^2 = 1cdot1+1cdot y & 1cdot1+1cdot1 [6pt] ycdot1+1cdot y & ycdot1+1cdot1 = 1+y & 2 [4pt] 2y & 1+y ]

Passo 3

Agora escrevemos
2A=21 & 1 [4pt] y & 1 =2 & 2 [4pt] 2y & 2 ]

Passo 4

Para ver quando A^2=2A basta comparar as entradas ou calcular
A^2-2A =1+y & 2 [4pt] 2y & 1+y -2 & 2 [4pt] 2y & 2 =y-1 & 0 [4pt] 0 & y-1 =(y-1),I
Portanto A^2=2A se, e somente se, y-1=0, isto é, y=1.]

Resposta

A igualdade A^2=2A ocorre exatamente quando y=1.

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