DADA A MATRIZ A=(
(cc1 & 2 -1 & 3)
) :
a) A matriz A é invertível?
b) Se a matriz A for invertível encontre a inversa dessa matriz utilizando operações elementares.

Passo 1

Temos a matriz A abaixo:
A = 1 & 2 -1 & 3
O objetivo é verificar se A é invertível e, se sim, encontrar A^-1 usando operações elementares. Vamos precisar calcular o determinante e depois montar a matriz aumentada [A mid I].

Passo 2

Calculamos o determinante de A para ver se ela é invertível. O determinante de uma matriz 2×2 a & b c & d é dado por ad - bc. Aqui temos:
det(A) = 1cdot3 - 2cdot(-1) = 3 + 2 = 5
Como det(A)=5neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [Amid I] unindo A e a identidade 2×2:
[Amid I] = (cc|cc1 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 1)

Passo 4

Aplicamos a operação elementar R2 R2 + R1 para zerar o elemento na posição (2,1):
(cc|cc1 & 2 & 1 & 0 0 & 5 & 1 & 1)

Passo 5

Agora escalonamos a segunda linha multiplicando por tfrac15:
(cc|cc1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac15 & tfrac15)

Passo 6

Por fim eliminamos o 2 na posição (1,2) com R1 R1 - 2R2:
(cc|cc1 & 0 & tfrac35 & -tfrac25 0 & 1 & tfrac15 & tfrac15)
Agora temos [Imid A^-1], de onde lemos a inversa.

Passo 7

Lemos a inversa na parte direita da matriz aumentada. Assim obtemos
A^-1 = 3/5 & -2/5 1/5 & 1/5 = 153 & -2 1 & 1

Passo 8

Concluímos que A é invertível e sua inversa foi encontrada via operações elementares.

Resposta

A é invertível, pois det(A)=5neq0. A inversa é
A^-1 = 153 & -2 1 & 1

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