Seja B=(1,0,0),(0, raiz22, raiz22),(0,-raiz22, raiz22) uma base ortonormal de R^3. Considere
A=[ccc 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22 ]
Verifique que A é matriz ortogonal.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal B no espaço tridimensional R^3 e uma matriz A . Nosso objetivo é verificar se a matriz A é ortogonal. Para isso, precisamos lembrar que uma matriz é ortogonal se a sua transposta multiplicada por ela mesma resulta na matriz identidade, ou seja, A^TA = I . Vamos precisar calcular a transposta de A e realizar essa multiplicação para confirmar se essa relação se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta da matriz A . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Dada a matriz:
A = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22
A transposta de A , denotada por A^T , será:
A^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & -raiz22 0 & raiz22 & raiz22

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a transposta de A pela própria matriz A . Essa operação nos ajudará a verificar se o resultado é a matriz identidade. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.

Passo 4

Vamos realizar a multiplicação A^TA :
A^TA = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & -raiz22 0 & raiz22 & raiz22 cdot 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1):
1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1
  • Elemento (1,2):
1 cdot 0 + 0 cdot raiz22 + 0 cdot -raiz22 = 0
  • Elemento (1,3):
1 cdot 0 + 0 cdot raiz22 + 0 cdot raiz22 = 0
  • Elemento (2,1):
0 cdot 1 + raiz22 cdot 0 + -raiz22 cdot 0 = 0
  • Elemento (2,2):
0 cdot 0 + raiz22 cdot raiz22 + -raiz22 cdot -raiz22 = 12 + 12 = 1
  • Elemento (2,3):
0 cdot 0 + raiz22 cdot raiz22 + -raiz22 cdot raiz22 = 12 - 12 = 0
  • Elemento (3,1):
0 cdot 1 + raiz22 cdot 0 + raiz22 cdot 0 = 0
  • Elemento (3,2):
0 cdot 0 + raiz22 cdot raiz22 + raiz22 cdot -raiz22 = 12 - 12 = 0
  • Elemento (3,3):
0 cdot 0 + raiz22 cdot raiz22 + raiz22 cdot raiz22 = 12 + 12 = 1

Passo 5

Após realizar todos os cálculos, a matriz resultante da multiplicação A^TA fica:
A^TA = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Essa é exatamente a matriz identidade I em R^3 .

Resposta

Como A^TA = I , concluímos que a matriz A é ortogonal.

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