Sejam A e B matrizes n \times n, mostre que se A B=A e B \neq I então A deve ser singular.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
\text{Dadas matrizes }A\text{ e }B\text{ de dimensão }n\times n,ã
AB=A,
B\neq I,
e a pergunta é: mostre que A deve ser singular (ou seja, não inversível).

Passo 2

Vou lembrar os conceitos essenciais, explicando devagar como se estivéssemos anotando no caderno:
  • Dizemos que uma matriz A é inversível (ou não singular) se existe uma matriz A^{-1} tal que
A^{-1}A=AA^{-1}=I.
Se não existe tal A^{-1}, então A é dita singular.
  • Uma outra forma útil de caracterizar singularidade: A é singular se e somente se existe um vetor não nulo x tal que
Ax=0.
O conjunto de todos os vetores x com Ax=0 chama-se núcleo (ou kernel) de A, denotado \ker(A). Se \ker(A) contém um vetor não nulo, então A não é inversível.

Passo 3

Prova por contradição (método simples e direto): suponha, para chegar a uma contradição, que A é inversível. Então existe A^{-1} e podemos multiplicar a igualdade AB=A pela esquerda por A^{-1}. Usando associatividade da multiplicação de matrizes, temos
A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B.
Mas A^{-1}(AB)= (A^{-1}A)B e A^{-1}A=I, então o lado esquerdo dá
A^{-1}(AB)=B,
enquanto o lado direito A^{-1}A=I aplicado à igualdade original dá
A^{-1}A=I.
De forma mais direta, aplicando A^{-1} em AB=A obtemos
B = A^{-1}(AB) = (A^{-1}A)B = IB = B
e também
A^{-1}A = I,
mas o passo chave é que multiplicando AB=A por A^{-1} à esquerda obtemos
B = I.
(Isto porque A^{-1}(AB) = (A^{-1}A)B = IB = B e A^{-1}A = I aplicado ao lado direito dá I.) Isso contradiz a hipótese B\neq I. Logo a suposição de que A é inversível é falsa. Portanto A é singular.

Passo 4

Vou apresentar uma prova alternativa, construtiva, que dá intuição geométrica (útil na prova e na prova oral): reescrevemos a hipótese como
AB=A \quad\Longleftrightarrow\quad A B - A = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A(B-I)=0.
Então a matriz produto A(B-I) é a matriz zero. Como B\neq I, a matriz B-I não é a matriz zero. Se uma matriz M não é a matriz zero, existe algum vetor v tal que Mv\neq 0 (caso contrário Mv=0 para todo v implicaria M=0). Portanto existe v com
(B-I)v \neq 0.
Aplicando A a esse vetor não nulo temos
A\bigl((B-I)v\bigr)=\bigl(A(B-I)\bigr)v=0\cdot v=0.
Então encontramos um vetor não nulo w=(B-I)v tal que Aw=0. Isso significa que \ker(A) contém um vetor não nulo, portanto A é singular. Esta prova mostra explicitamente o vetor não nulo que é enviado para zero por A.

Passo 5

Resumo e intuição final (curto e motivador): a igualdade AB=A força A(B-I)=0. Se A tivesse inversa, multiplicando à esquerda obteríamos B=I, contradizendo B\neq I. Alternativamente, B\neq I garante a existência de algum vetor v com (B-I)v\neq 0, e esse vetor é mandado para zero por A, mostrando que A tem núcleo não trivial. Em qualquer abordagem, concluímos que A não pode ser inversível, ou seja, A é singular.

Resposta

A é singular.

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