Sejam
e
matrizes
, mostre que se
e
então
deve ser singular.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
e a pergunta é: mostre que
deve ser singular (ou seja, não inversível).
Passo 2
Vou lembrar os conceitos essenciais, explicando devagar como se estivéssemos anotando no caderno:
- Dizemos que uma matriz
é inversível (ou não singular) se existe uma matriz tal que
Se não existe tal
, então
é dita singular.
- Uma outra forma útil de caracterizar singularidade:
é singular se e somente se existe um vetor não nulo tal que
O conjunto de todos os vetores
com
chama-se núcleo (ou kernel) de
, denotado
. Se
contém um vetor não nulo, então
não é inversível.
Passo 3
Prova por contradição (método simples e direto): suponha, para chegar a uma contradição, que
é inversível. Então existe
e podemos multiplicar a igualdade
pela esquerda por
. Usando associatividade da multiplicação de matrizes, temos
Mas
e
, então o lado esquerdo dá
enquanto o lado direito
aplicado à igualdade original dá
De forma mais direta, aplicando
em
obtemos
e também
mas o passo chave é que multiplicando
por
à esquerda obtemos
(Isto porque
e
aplicado ao lado direito dá
.) Isso contradiz a hipótese
. Logo a suposição de que
é inversível é falsa. Portanto
é singular.
Passo 4
Vou apresentar uma prova alternativa, construtiva, que dá intuição geométrica (útil na prova e na prova oral): reescrevemos a hipótese como
Então a matriz produto
é a matriz zero. Como
, a matriz
não é a matriz zero. Se uma matriz
não é a matriz zero, existe algum vetor
tal que
(caso contrário
para todo
implicaria
). Portanto existe
com
Aplicando
a esse vetor não nulo temos
Então encontramos um vetor não nulo
tal que
. Isso significa que
contém um vetor não nulo, portanto
é singular. Esta prova mostra explicitamente o vetor não nulo que é enviado para zero por
.
Passo 5
Resumo e intuição final (curto e motivador): a igualdade
força
. Se
tivesse inversa, multiplicando à esquerda obteríamos
, contradizendo
. Alternativamente,
garante a existência de algum vetor
com
, e esse vetor é mandado para zero por
, mostrando que
tem núcleo não trivial. Em qualquer abordagem, concluímos que
não pode ser inversível, ou seja,
é singular.