1. Mostre que a meia largura De<a theta das franjas na experiência de fenda dupla é dada por
De<a theta=lambda2 d
se theta for suficientemente pequeno de modo que sen theta approx theta. A meia largura é o ângulo entre dois pontos na franja para os quais a intensidade é metade da intensidade no centro da franja.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a meia largura angular De<a theta da franja de interferência em uma experiência de dupla fenda, sabendo que a intensidade é dada por interferência e queremos o ângulo entre os pontos onde a intensidade cai à metade do valor central. Vamos usar a fórmula da intensidade na dupla fenda e a aproximação de ângulo pequeno sinthetaapproxtheta.

Passo 2

A distribuição de intensidade em função de theta é
I(theta)=I0cos^2l(betar),
onde
beta=pi dsinthetalambda,
com d distância entre as fendas e lambda o comprimento de onda. O pico central está em theta=0, onde I(0)=I0.

Passo 3

Definimos a meia largura como o ângulo entre os dois pontos theta1 e theta2 simétricos tais que
I(theta1)=I(theta2)=I02
Logo, em cada ponto theta1 vale
cos^2l(beta1r)=12 Longrightarrow cosl(beta1r)=1raiz2 Longrightarrow beta1=pmpi4

Passo 4

Usando a definição de beta e a aproximação de ângulo pequeno,
beta1 =pi dsintheta1lambda approxpi d,theta1lambda =pi4 Longrightarrow theta1=lambda4d
Como há dois pontos simétricos, theta2=-theta1, a meia largura completa (full width at half maximum) é
De<a theta=theta1-(-theta1)=2,theta1 =2cdotlambda4d =lambda2d

Resposta

De<a theta = lambda2d

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