mu(x) P(x) y^prime prime+mu(x) Q(x) y^prime+mu(x) R(x) y=0
pode ser escrita na forma
[mu(x) P(x) y^prime]^prime+[f(x) y]^prime=0
Igualando os coeficientes nessa duas equações e eliminando f(x), mostre que a função mu precisa satisfazer
P mu^prime prime+(2 P^prime-Q) mu^prime+(P^prime prime-Q^prime+R) mu=0
Essa equação é conhecida como adjunta da equação original e é importante na teoria avançada de equações diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equação diferencial adjunta é tão difícil quanto o de resolver a equação original, de modo que só é possível encontrar um fator integrante para uma equação de segunda ordem ocasionalmente. Encontre a equação adjunta da equação diferencial de Airy:
y^prime prime-x y=0
Escolha uma opção:
mu^prime prime+x mu=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação adjunta da equação de Airy y'' - x y = 0, usando a forma geral
P(x),mu'' + l(2P'(x)-Q(x)r),mu' + l(P''(x)-Q'(x)+R(x)r),mu = 0
Aqui o conteúdo é a teoria de fatores integrantes e equações adjuntas em EDOs de segunda ordem, e vamos usar diretamente essa fórmula para mu(x).

Passo 2

Na equação de Airy identificamos
P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = -x

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
P'(x) = 0, P''(x) = 0, Q'(x) = 0

Passo 4

Substituímos tudo na fórmula geral:
1cdotmu'' + l(2cdot0 - 0r)mu' + l(0 - 0 + (-x)r)mu = 0

Passo 5

Simplificando cada termo, obtemos
mu'' - x,mu = 0,
que é a equação adjunta procurada.

Resposta

mu'' - x,mu = 0

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