Sejam V um espaço vetorial e B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V. Mostre que B^{\prime}=\left\{v_{1}, v_{1}-v_{2}, v_{1}-v_{3}, \ldots, v_{1}-v_{n}\right\} também é uma base de V e determine [I]_{B}^{B^{\prime}}.
Passo 1
O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão n com base
B = \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}
e define o conjunto
B' = \{\,v_{1},\;v_{1}-v_{2},\;v_{1}-v_{3},\;\dots,\;v_{1}-v_{n}\}.
Precisamos mostrar que B' é base de V (isto é, é linearmente independente e gera V) e, em seguida, determinar a matriz
[I]_{B}^{B'}\!,
que é a matriz da transformação identidade de V vista da base de entradas B para a base de saídas B'.
Passo 2
Provar que B'\) é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
\[c_{1}\,v_{1} \;+\; c_{2}\,(v_{1}-v_{2}) \;+\;\cdots+\; c_{n}\,(v_{1}-v_{n}) \;=\;0.
Agrupando termos em v_{1},v_{2},\dots,v_{n} obtém-se
Daí c_{2}=\cdots=c_{n}=0\] e então \(c_{1}=0. Logo B' é linearmente independente.
Passo 3
B' tem exatamente n vetores e já mostramos que é linearmente independente. Num espaço de dimensão n, qualquer conjunto com n vetores linearmente independentes é base. Portanto B' gera V e é base.
Passo 4
Para achar [I]_{B}^{B'}, lembramos que esta matriz satisfaz
[x]_{B'} \;=\;[I]_{B}^{B'}\,[x]_{B}
para todo x\in V. As colunas de [I]_{B}^{B'} são as coordenadas de cada v_{j} (vetores da base B) expressas em B'.
Para j=1, v_{1}=b'_{1}, onde escrevemos b'_{1}=v_{1}. Logo a 1ª coluna é