Sejam V um espaço vetorial e B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V. Mostre que B^{\prime}=\left\{v_{1}, v_{1}-v_{2}, v_{1}-v_{3}, \ldots, v_{1}-v_{n}\right\} também é uma base de V e determine [I]_{B}^{B^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão n com base
B = \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}
e define o conjunto
B' = \{\,v_{1},\;v_{1}-v_{2},\;v_{1}-v_{3},\;\dots,\;v_{1}-v_{n}\}.
Precisamos mostrar que B' é base de V (isto é, é linearmente independente e gera V) e, em seguida, determinar a matriz
[I]_{B}^{B'}\!,
que é a matriz da transformação identidade de V vista da base de entradas B para a base de saídas B'.

Passo 2

Provar que B'\) é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula: \[c_{1}\,v_{1} \;+\; c_{2}\,(v_{1}-v_{2}) \;+\;\cdots+\; c_{n}\,(v_{1}-v_{n}) \;=\;0.
Agrupando termos em v_{1},v_{2},\dots,v_{n} obtém-se
(c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n})\,v_{1}\;-\;c_{2}\,v_{2}\;-\;\cdots\;-\;c_{n}\,v_{n}\;=\;0.
Como B é base, todos os coeficientes devem ser zero:
\begin{cases} -c_{2}=0,\\\ \;\;\;\vdots\\\\ -c_{n}=0,\\\ c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}=0. \end{cases}
Daí c_{2}=\cdots=c_{n}=0\] e então \(c_{1}=0. Logo B' é linearmente independente.

Passo 3

B' tem exatamente n vetores e já mostramos que é linearmente independente. Num espaço de dimensão n, qualquer conjunto com n vetores linearmente independentes é base. Portanto B' gera V e é base.

Passo 4

Para achar [I]_{B}^{B'}, lembramos que esta matriz satisfaz
[x]_{B'} \;=\;[I]_{B}^{B'}\,[x]_{B}
para todo x\in V. As colunas de [I]_{B}^{B'} são as coordenadas de cada v_{j} (vetores da base B) expressas em B'.
  • Para j=1, v_{1}=b'_{1}, onde escrevemos b'_{1}=v_{1}. Logo a 1ª coluna é
[v_{1}]_{B'} = (1,0,0,\dots,0)^{T}.
  • Para j\ge2, observe que
b'_{j}=v_{1}-v_{j} \quad\Longrightarrow\quad v_{j}=v_{1}-b'_{j}=b'_{1}-b'_{j}.
Assim a j-ésima coluna é
[v_{j}]_{B'}=(1,0,\dots,0,\underbrace{-1}_{\text{posição }j},0,\dots,0)^{T}.çã

Passo 5

Organizando tudo, [I]_{B}^{B'} é a matriz n\times n cujas colunas são
\begin{pmatrix} 1\\\ 0\\\ 0\\vdots\\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1\\\ -1\\\ 0\\vdots\\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1\\\ 0\\\ -1\\vdots\\\ 0 \end{pmatrix}, \;\dots,\; \begin{pmatrix} 1\\\ 0\\\ 0\\vdots\\\ -1 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{B}^{B'} \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\\\ 0 & -1& 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & 0 & -1& \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{pmatrix}.

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