Mostre que o caminho
para o qual a integral
é estacionária é uma função arcsenh.
Passo 1
O enunciado pede mostrar que o caminho
que torna estacionária a funcional
é dado por uma combinação de funções hiperbólicas do tipo
.
O conteúdo usado aqui é cálculo variacional, aplicando a equação de Euler–Lagrange.
O conteúdo usado aqui é cálculo variacional, aplicando a equação de Euler–Lagrange.
Passo 2
Escrevemos o integrando como
Note que
não depende de
explicitamente, logo
e a equação de Euler–Lagrange
reduz-se a
em que
é constante de integração.
Passo 3
Calculamos
e igualamos a
:
Passo 4
Isolamos
:
Passo 5
Para integrar, fazemos a mudança de variável hiperbólica
então
Integrando em
:
Voltando a
, como
temos
.
Resposta
que é a forma desejada em termos de
.