Mostre que o caminho y=y(x) para o qual a integral integralx1^x2 x raiz1+y^prime 2 d x é estacionária é uma função arcsenh.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que o caminho y=y(x) que torna estacionária a funcional
J[y]=integralx1^x2xraiz1+y'^2;dx
é dado por uma combinação de funções hiperbólicas do tipo arsenh.
O conteúdo usado aqui é cálculo variacional, aplicando a equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Escrevemos o integrando como
F(x,y,y')=xraiz1+y'^2com y'=dydx
Note que F não depende de y explicitamente, logo
partial Fpartial y=0
e a equação de Euler–Lagrange
ddxl(partial Fpartial y'r)-partial Fpartial y=0
reduz-se a
ddxl(partial Fpartial y'r)=0 Longrightarrow partial Fpartial y'=A
em que A é constante de integração.

Passo 3

Calculamos
partial Fpartial y' =partialpartial y'l(xraiz1+y'^2r) =x,y'raiz1+y'^2
e igualamos a A:
x,y'raiz1+y'^2=A

Passo 4

Isolamos y':
x^2,y'^21+y'^2=A^2 Longrightarrow y'^2=A^2x^2-A^2 Longrightarrow dydx =Araizx^2-A^2

Passo 5

Para integrar, fazemos a mudança de variável hiperbólica
x=Asinh u Longrightarrow dx=Acosh u,du,
então
dydu =dydx,dxdu =AraizA^2sinh^2u;Acosh u =A
Integrando em u:
y(u)=A,u+C
Voltando a x, como sinh u=x/A temos u=arsenh(x/A).

Resposta

boxedy(x)=A,arsenh!l(tfracxAr)+C,
que é a forma desejada em termos de arsenh.

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