Mostre que o menor elemento do conjunto dos múltiplos não nulos de um número natural
é o próprio
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos múltiplos não nulos de um natural
,
o menor elemento é justamente
. Vamos usar a ordem usual em
e a propriedade de que, se
e
, então
.
Passo 2
Note que
e
, logo
pertence a
. Assim,
Passo 3
Seja agora um elemento arbitrário de
, digamos
com
e
. Como
é natural não nulo, temos
. E como
, multiplicar a desigualdade
por
preserva a ordem, dando
Portanto, todo elemento
de
satisfaz
.
Passo 4
Concluímos que
pertence a
e que nenhum outro elemento de
é menor do que
. Logo,
é o menor elemento de
.
Resposta
O menor elemento do conjunto dos múltiplos não nulos de
é
.