Mostre que o menor elemento do conjunto dos múltiplos não nulos de um número natural a>0 é o próprio a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos múltiplos não nulos de um natural a>0,
S = ncdot a mid ninN,,nneq 0,
o menor elemento é justamente a. Vamos usar a ordem usual em N e a propriedade de que, se a>0 e m>= n, então mcdot a>= ncdot a.

Passo 2

Note que 1inN e 1neq 0, logo 1cdot a = a pertence a S. Assim,
ain S

Passo 3

Seja agora um elemento arbitrário de S, digamos x = ncdot a com ninN e nneq 0. Como n é natural não nulo, temos n>= 1. E como a>0, multiplicar a desigualdade n>=1 por a preserva a ordem, dando
ncdot a ;>=; 1cdot a ;=; a
Portanto, todo elemento x de S satisfaz x>= a.

Passo 4

Concluímos que a pertence a S e que nenhum outro elemento de S é menor do que a. Logo, a é o menor elemento de S.

Resposta

O menor elemento do conjunto dos múltiplos não nulos de a é a.

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