(a) Mostre que a menor incerteza possivel na posição de um elétron cuja velocidade é da. da por beta=v / c é
De
onde lambdaC é o comprimento de onda Compton, h / m0 c. (b) Qual éo significado dessa equação para beta=0 ? e para beta=1 ?

Passo 1

Beleza, o exercício tem duas partes:
(a) Mostrar que, para um elétron que se move com velocidade v=beta c, a menor incerteza possível na posição é
De
onde lambdaC=h/(m0c) é o comprimento de onda de Compton.
(b) Interpretar o resultado nos extremos beta=0 e beta=1.
Conteúdo usado:
  • Princípio da Incerteza de Heisenberg, De=hbar/2.
  • Limite de impulso transferível via fóton sem criação de par ( De).
  • Transformação de comprimentos (contração de Lorentz).

Passo 2

Primeiro, no referencial em que o elétron está “parado” (repouso), aplicamos Heisenberg:
Para medir com resolução De usamos um fóton de momento até
Deó
pois se hnu>m0c^2 começa a criar pares elétron-pósitron.
Então, no melhor caso De e

Passo 3

Agora, esse De é “próprio” do elétron. Num referencial em que ele se move a v=beta c, ocorre contração de Lorentz:
De
Substituindo De, dá
De

Passo 4

Só para fingir que tá tudo organizado, escrevemos em termos de lambdaC=h/(m0c):
De

Passo 5

Interpretação (parte b):
  • Se beta=0, então raiz1-beta^2=1 e Deque é a melhor localização de um elétron em repouso.
  • Se betato1, então raiz1-beta^2to0 e DeOu seja, quanto mais relativístico (mais rápido), mais “apertado” a gente pode localizá-lo no sentido de contração de comprimento.

Resposta

boxed De
com De em beta=0 e De em $\beta\to1,. $

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