(a) Mostre que a menor incerteza possivel na posição de um elétron cuja velocidade é da. da por
é
onde
é o comprimento de onda Compton,
. (b) Qual éo significado dessa equação para
? e para
?
Passo 1
Beleza, o exercício tem duas partes:
(a) Mostrar que, para um elétron que se move com velocidade , a menor incerteza possível na posição é
(a) Mostrar que, para um elétron que se move com velocidade
onde
é o comprimento de onda de Compton.
(b) Interpretar o resultado nos extremos e
.
(b) Interpretar o resultado nos extremos
Conteúdo usado:
- Princípio da Incerteza de Heisenberg,
. - Limite de impulso transferível via fóton sem criação de par (
). - Transformação de comprimentos (contração de Lorentz).
Passo 2
Primeiro, no referencial em que o elétron está “parado” (repouso), aplicamos Heisenberg:
Para medir com resolução
usamos um fóton de momento até
pois se
começa a criar pares elétron-pósitron.
Então, no melhor caso e
Então, no melhor caso
Passo 3
Agora, esse
é “próprio” do elétron. Num referencial em que ele se move a
, ocorre contração de Lorentz:
Substituindo
, dá
Passo 4
Só para fingir que tá tudo organizado, escrevemos em termos de
:
Passo 5
Interpretação (parte b):
- Se
, então e que é a melhor localização de um elétron em repouso. - Se
, então e Ou seja, quanto mais relativístico (mais rápido), mais “apertado” a gente pode localizá-lo no sentido de contração de comprimento.
Resposta
com
em
e
em $\beta\to1,. $